¿Es válido integrar en ambos lados para simplificar una ecuación diferencial?

Question

Entonces estoy intentando resolver esta ecuación.

$$y^{\prime\prime\prime} + y^{\prime\prime} +y^{\prime} = x+1.$$ ¿Es válido tomar la integral indefinida en ambos lados para simplificar la expresión y hacer más fácil su resolución?

\begin{align*} \int (y^{\prime\prime\prime} + y^{\prime\prime} +y^{\prime})\, dx &= \int (x+1)\, dx \\ y^{\prime\prime} +y^{\prime} + y &= \frac{x^2}{2} +x + c \end{align*}

¡Gracias!

Answer 1

Puedes, pero para resolver tu ecuación específica, es recomendable reservar eso para el último paso. En otras palabras, deja que $z = y'$ entonces $$z''+z'+z=x+1$$ que es exacta y no tiene constantes flotando alrededor, etc. Además, es más simple ya que el lado derecho es lineal, no cuadrático.

Ahora resuelve la ecuación y una vez que sepas qué es $z = z(x)$, puedes encontrar $$ y(x) = \int y'(x) dx = \int z(x) dx, $$ que tendrá la constante en el lado derecho...

Answer 2

Sí

Esto es exactamente lo que te encontrarás haciendo en clases superiores de cálculo y ecuaciones diferenciales.

Funciona incluso en caso de variables diferentes en el lado derecho e izquierdo:

$$\int y^2dy= \int x^3 dx$$ se convierte en: $$y^3/3= x^4/4+C$$

Answer 3

En realidad hay un poco más que eso. Tienes que usar el Teorema Fundamental del Cálculo Integral. Después de la primera integración (digamos de $a$ a $x$) deberías escribir $$y''(x)-y''(a)+y'(x)-y'(a)+y(x)-y(a)=\frac{x^2}{2}+x-\frac{a^2}{2}-a$$ Para poder escribir en la forma que has escrito, $y(a), y'(a), y''(a)$ deben estar bien definidos.