Este es un ejercicio que me fue dado, y me gustaría enfatizar que no estoy buscando una respuesta, pero en lugar de un puntero o un toque en la dirección correcta, ya que parece que me he llegado a un bit de un callejón sin salida. Estamos buscando las secuencias más los números reales (al menos esa es mi suposición, y que es donde he estado buscando).
He venido con diversos resultados para que me ayude a intentar una secuencia:
- La prueba de razón ha de ser concluyentes, como la raíz de la prueba.
- Desde $a_n$ converge a $0$, por lo que no $a_n^3$
- Las secuencias de $|a_n|$ no puede ser monótona decreciente, de lo contrario $\sum a_n^3$ convergerán.
Otras varias cosas que he notado:
- Es muy fácil encontrar a $a_n$ tal que $a_n$ converge sino $a_n^2$ diverge. Es posible el uso de ese hecho? Deje $u_n$ ser una secuencia. Traté de construir una suma de dos secuencias, de manera que cuando tomamos la tercera potencia, $u_n^2$ aparece en la expansión binomial. Que "ingenuo" enfoque no hacerme demasiado lejos, sin embargo.
- Podemos hacer la siguiente observación: \begin{align} \sum a_n^3 &= a_1^3 + a_2^3+a_3^3+a_4^3\cdots \\ & = (a_1+a_2)((a_1-a_2)^2 + a_1a_2) + (a_3+a_4)((a_3-a_4)^2 + a_3a_4) +\cdots \end{align} Con esto no me llevaron a ninguna parte.
Otras cosas que he pensado:
Creo que una forma natural para que la secuencia sería el producto de dos funciones, $f$$g$, de tal manera que uno converge a $0$ mucho más rápido que el otro. Mediante la prueba de comparación, podríamos intentar exigir que $(fg)^3 > k_n$ para todo n para algunos secuencia $k_n$ cuyos asociados de la serie es divergente. Creo que es poco probable que se pudiera encontrar un producto, ya que si $fg$ se desploma lo suficientemente rápido, entonces $(fg)^3$ se reducirá aún más rápido.
- Yo he probado un par de cosas por falta de mejores opciones, el uso de exp, funciones trigonométricas, polinomios, ninguno de mis intentos han trabajado hasta el momento, casi siempre como un producto de dos funciones.
Si alguien pudiera sugerir un posible paso hacia adelante, yo estaría muy agradecido!
