Definición de$N$ en$\epsilon$ -$N$ definición de convergencia

Question

En mi Análisis Real de la clase hemos estado pasando un tiempo a hablar sobre el $\epsilon$-$N$ definición de convergencia. El libro que estamos utilizando, el Análisis Elemental por Ross, define la convergencia como:

Una secuencia de números reales $(s_n)$ se dice que converge a $s$ si

Para todos los $\epsilon>0$ existe $N\in\mathbb{N}$ tal que para todo $n\geq N$, $|s_n-s|<\epsilon$.

Así que él define $N$ a ser un número natural, sin embargo, en todos los ejemplos de convergencia, por ejemplo, demostrando que $\lim_{n\to\infty}1/n^2=0$, él dice que vamos a $N=1/\sqrt{\epsilon}$.

Mi profesor nos dijo que técnicamente no importa, entonces, ¿por qué nos limitamos a nosotros mismos en la definición de los naturales? No sólo es más fácil de decir que existe un $N$ en los reales? Y si definimos $N$ a estar en los naturales, sin embargo, vamos a decir $N=1/\sqrt{\epsilon}$, lo que evidentemente no es un número natural, ¿por qué se mencionan $N$ ser un número natural?

Answer 1

Aquí está la verdadera razón por la $N$ tiene que ser un número natural: un valor real de la secuencia de $(s_n)$ es una función de $\mathbb{N}\to\mathbb{R}$, donde por conveniencia notacional escribimos $s_n$ a representar a $s(n)$. En el $\varepsilon$-$N$ definición del límite de una secuencia de todo con $\varepsilon$ tiene que ver con las salidas de esta función, que son números reales; pero todo con $N$ $n$ describe las entradas de esta función, que son naturales los números. Así que desde el punto de vista del dominio de esta función, no-natural de los números reales no existen: no hay tal cosa como "$s(0.5)=s_{0.5}$" en esta secuencia. Por lo tanto, dejar $N$ a de ser real, sería más fácil... pero no sería significativo.

Su profesor es correcto afirmar que en última instancia no importa realmente: diciendo que $n\ge123.456$ es tan bueno como diciendo $n\ge124$. Pero creo que este es un mal estilo, porque el espíritu de la definición — y también de su carta, como se afirma en su libro! — requieren $N$ naturales.

Por otra parte, una vez que la definición se ha dicho, es mejor quedarse en concordancia con ella. Así que también tienes razón en tu observación de que es muy confuso y muy descuidado al estado una definición y, a continuación, hacer algo diferente. Especialmente, ya que hay una solución fácil: decir, en el ejemplo en tu post, simplemente deje $N=\left\lceil1/\sqrt{\varepsilon}\right\rceil$.

Answer 2

$N$ a menudo se requiere que sea un número natural en la definición, ya que se usa para decir algo sobre todos los números enteros$n\geq N$. Dado que tenemos una secuencia indexada por los naturales, es "más agradable" pensar en todos los enteros$n$ mayores o iguales que, digamos$4$, en lugar de todos los enteros$n$ mayores que o igual a $\pi$. Sin embargo, ambos conjuntos son iguales, por lo que su profesor dijo que las definiciones son equivalentes.