¿Existe siempre una partición en divisores distintos de un número abundante que implique el mayor divisor no trivial?

Question

Con la obvia excepción de números extraños como $70$ para los que no es posible realizar tales particiones.

Por ejemplo, con $12$ tenemos $6 + 4 + 2 = 12$ .

Con un número abundante más grande como $60$ por supuesto hay particiones que no utilizan el mayor divisor no trivial, como $20 + 15 + 10 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 60$ pero también hay al menos uno que lo hace: $30 + 20 + 10$ .

¿Existe un número abundante, pero no raro, que pueda ser dividido en una selección de sus distintos divisores, pero ninguno de los cuales utilizan el mayor divisor no trivial?

La respuesta a esta pregunta parece que debería ser obviamente "No, por supuesto que no". Pero, ¿cómo demostrarlo?

La mayoría de las veces sólo he mirado los números pares y abundantes, pero también he mirado $945$ . Pero, por supuesto, podría existir un número ridículamente grande que cumpliera este criterio.

Answer 1

Me temo que no puedo dar una respuesta completa, pero he aquí algunos resultados a los que he llegado.

Acordemos primero una terminología.

   Un número entero positivo se llama perfecto si es igual a la suma de sus divisores propios.
   Un número entero positivo se llama deficiente si supera la suma de sus divisores propios.
   Un número entero positivo se llama abundante si es superado por la suma de sus divisores propios.
   Un número entero positivo se llama pseudoperfecto si es igual a la suma de un subconjunto de sus divisores propios.

Claramente, todo número perfecto es también pseudoperfecto, y ningún número deficiente es pseudoperfecto.

   Un entero positivo que es abundante, pero no pseudoperfecto se llama extraño .

Hasta aquí, esta es la terminología estándar; introduzcamos un concepto más:

   Un número entero positivo se llama fuertemente pseudoperfecto si es igual a la suma de un subconjunto de sus divisores propios que contiene el mayor divisor propio.

Está claro que los números perfectos son fuertemente pseudoperfectos y que los números fuertemente pseudoperfectos son pseudoperfectos.

   Por último, llamamos a un número abundante semi rara si no es raro ni fuertemente pseudoperfecto.

Entonces su pregunta se puede replantear como: ¿Existen los números semi-raros?

Con el uso de un ordenador, he comprobado que no existe ningún número semirrígido inferior a un millón.

Para facilitar el cálculo, utilizamos los siguientes lemas:

(1) Si $n$ es fuertemente pseudoperfecto, entonces cada múltiplo de $n$ también lo es.
(2) Si $n=2^m\cdot p$ para un número entero positivo $m$ y un primer $p<2^{m+1}$ entonces $n$ es fuertemente pseudoperfecto.

Utilizando estos dos hechos, si $s$ es el menor número semirrígido, entonces se cumple lo siguiente.

• $s$ es abundante.
• $s$ no es raro.
• Todos los divisores de $s$ son deficientes o extraños.
• $s$ no es de la forma $2^m\cdot p$ para un primer $p<2^{m+1}$ .

Si se reducen los números por debajo de un millón a sólo los candidatos a la semirrealidad mínima que satisfacen estas cuatro condiciones, se obtiene una lista mucho más pequeña de 1.795 números (a partir de $350$ y terminando con $999999$ ). Entonces es fácil comprobar que todas ellas son, de hecho, fuertemente pseudoperfectas.

Por lo tanto, si existen números semi-raros, deben ser mayores que un millón.