(1) la suma de dos factoriales de dos maneras; (2) valor de $a^{2010}+a^{2010}+1$ dado $a^4+a^3+a^2+a+1=0$.

Question

Pregunta $1$:

¿Existe un entero $z$ que se puede escribir de dos maneras diferentes como $z=x!+y!$, donde $x,y\in \mathbb N$ y $x\leq y$?

Respuesta: $0!=1!$ % que $0!+2!=3=1!+2!$

Pregunta $2$:

Si $a^4+a^3+a^2+a+1=0$, encuentra el valor de $a^{2010}+a^{2010}+1$.

Respuesta: Si $a^4+a^3+a^2+a+1=0$ y $$(a-1)(a^4+a^3+a^2+a+1)=0\implies a^5-1=0\implies a=1$$So the value of the required expression is $$ %3

Creo que es erróneo como $a=1$ $\frac{a^5-1}{a-1}$ no está definido.

¿Por favor, Dame algunos consejos para solucionar problemas de thes?

Answer 1

La primera solución es incorrecta, porque $3\neq z!$ para cualquier $z$.

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La segunda solución es equivocada.

Si $a=1$, entonces el $a^4+a^3+a^2+a+1=1+1+1+1+1\neq 0$, por lo que es evidente que cometió un error grave en la segunda solución.

En particular, se multiplica la ecuación por $(a-1)$, que por supuesto produjo una solución de $a=1$.

Answer 2

La segunda solución no es tan malo

$a^5-1=0$ tiene 5 soluciones, de las cinco raíces quinto complejo de la unidad. Es decir

$$\left(a_0=1,\;a_1 = -\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{5}}{4}-i \sqrt{\frac{5}{8}-\frac{\sqrt{5}}{8}},\;a_2 = -\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{5}}{4}+i \sqrt{\frac{5}{8}+\frac{\sqrt{5}}{8}},\\a_3 = -\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{5}}{4}-i \sqrt{\frac{5}{8}+\frac{\sqrt{5}}{8}},\;a_4 = -\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{5}}{4}+i \sqrt{\frac{5}{8}-\frac{\sqrt{5}}{8}}\right)$$

Uno de ellos, $a=1$, no es una raíz de la cuarta ecuación de grado $$a^4+a^3+a^2+a+1=0$ $ pero las otras cuatro son realmente porque % $ $$a^5-1=(a-1)(a^4+a^3+a^2+a+1)$

Por lo tanto conectar $a^5=1$ $a^{2000}+a^{2010}+1$ es perfectamente legal y el resultado real es $3$

Espero que esto sea útil