$\sum_{i=1}^{+\infty}\dfrac {1}{q_i+1} \notin \mathbb Q$?

Question

No puedo por el momento encontrar una manera para éste:

Existen estrictamente creciente secuencia de números primos $q_i$ para que tengamos %#% $ #%

Estoy luchando con algo un poco menos general, pero decidió solicitar en este formulario.

Answer 1

Sí y de hecho puede encontrar tal secuencia para cualquier racional $q\in\mathbb{Q}^+$; Esto es una consecuencia fácil del hecho de que el $\sum_p \frac1{p+1}\to\infty$. Supongamos que queremos obtener una secuencia $p_i$ $\sum_i \frac1{1+p_i}=\frac23$. Entonces podemos proceder en etapas: elegir $p_1$ como ceba el más pequeño tal que $\frac1{1+p_1}\lt \frac23$; Elija $p_2$ como ceba el más pequeño tal que $\frac1{1+p_1}+\frac1{1+p_2}\lt\frac23$; etcetera. Usted debe ser capaz de mostrar que siempre hay otro primer para elegir, y (b) que el límite de la secuencia es $\frac23$.