¿Qué es la 3ª derivada de cos usando esta fórmula derivado?

Question

Hay una fórmula general para la derivada de una función:

$$\frac{d^n}{dx^n}f(x)=\lim_{\epsilon\to0}\frac{1}{\epsilon^n}\sum_{j=0}^n{((-1)^j\frac{\Gamma(n+1)}{j!\Gamma{(n+1-j)}}f(x-j\epsilon))}$$

Donde $\Gamma(x) $ es la función Gamma

He intentado con la fórmula para evaluar el 3er derivado de $\cos(x)$, pero dejo confundida rápidamente. Sería muy apreciado si alguien podría mostrar una solución paso a paso a este problema.

Soy totalmente consciente de la respuesta es $\sin(x)$, pero ¿cuál es el proceso para llegar a esa solución?

Answer 1

$\Gamma(n+1)$ es afectado manera de escribir $n!$. De modo que el lado derecho es $$\newcommand{\ep}{\epsilon}\lim_{\pe\to0}\frac1{\ep^n} \sum_{j=0}^n(-1)^j\frac{n!}{j!(n-j)!}f(x+j\ep)= \lim_{\pe\to0}\frac1{\ep^n} \sum_{j=0}^n(-1)^j\binom{n}{j}f(x+j\ep).$$ Esto no es del todo correcto: hay un cartel de error, debe ser $$(-1)^n\lim_{\pe\to0}\frac1{\ep^n} \sum_{j=0}^n(-1)^j\binom{n}{j}f(x+j\ep) =\lim_{\pe\to0}\frac1{\ep^n} \sum_{j=0}^n(-1)^{n-j}\binom{n}{j}f(x+j\ep).$$ Para $n=3$ debe ser $$\lim_{\ep\to0}\frac{f(x+3\ep)-3f(x+2\ep)+3f(x+\ep)-f(x)}{\ep^3}.$$

Cuando además de la $f(x)=\cos(x)$ entonces tenemos $$f(x+\ep)=\cos \ep\cos x-\sin \ep\sin x,$$ $$f(x+2\ep)=(\cos^2 \ep-\sin^2\ep)\cos x-2\sin\ep\cos\ep\sin x,$$ etc. Usted obtener finalmente $$\lim_{\ep\to 0}\frac{G(\ep)\cos x+H(\ep)\sin x}{\ep^3}$$ donde $G(\ep)/\ep^3$ $H(\ep)/\ep^3$ son funciones que deben tender a$0$$1$$\ep\to0$. No quiero entrar en los detalles a pesar de $\ddot\frown$.

Answer 2

Queremos $$ \lim_{h \to 0} \frac{\cos{(x+3h)}-3\cos{(x+2h)+3\cos{(x+h)}-\cos{x}}}{h^3}. $$ Entonces $$ \cos{(x+3h)}-\cos{(x+2h)} = -2\sin{\left(\frac{h}{2}\right)}\sin{\left(x+\frac{5}{2}\right)} \\ -\cos{(x+2h)}+\cos{(x+h)} = 4\sin{\left(\frac{h}{2}\right)}\sin{\left(x+\frac{3 h}{2}\right)} \\ \cos{(x+h)}-\cos{x} = -2\sin{\left(\frac{h}{2}\right)}\sin{\left(x+\frac{h}{2}\right)}, $$ entonces $$ -2\sin{\left(\frac{h}{2}\right)}\sin{\left(x+\frac{5}{2}\right)} + 2\sin{\left(\frac{h}{2}\right)}\sin{\left(x+\frac{3 h}{2}\right)} = -\left( 2\sin{\left(\frac{h}{2}\right)}\right)^2 \cos{\left( x + 2h \right)} \\ 2\sin{\left(\frac{h}{2}\right)}\sin{\left(x+\frac{3 h}{2}\right)} -2\sin{\left(\frac{h}{2}\right)}\sin{\left(x+\frac{h}{2}\right)} = \left( 2\sin{\left(\frac{h}{2}\right)}\right)^2 \cos{\left( x + h \right)}, $$ y, finalmente, $$ -\left( 2\sin{\left(\frac{h}{2}\right)}\right)^2 \cos{\left( x + 2h \right)} + \left( 2\sin{\left(\frac{h}{2}\right)}\right)^2 \cos{\left( x + h \right)} = \left( 2\sin{\left(\frac{h}{2}\right)}\right)^3\sin{\left( x + \frac{3h}{2} \right)}. $$ Entonces $$ \lim_{h \to 0} \frac{1}{h^3}\left( 2\sin{\left(\frac{h}{2}\right)}\right)^3 = 1, $$ y el otro término tiende a $\sin{x}$, así que todo converge a $\sin{x}$. Exactamente el mismo argumento funciona para cualquier número de derivados, lo que se puede demostrar por inducción.

Answer 3

$$\frac{d^3}{dx^3}\cos(x)=\lim_{\epsilon \to 0}\left(\frac{1}{\epsilon^3}\left(\cos(x)-3\cos(x+\epsilon)+3\cos(x+2\epsilon)-\cos(x+3\epsilon)\right)\right)$ $ [detalles omitidos - una simple substitución de valores]

Usando el $\cos A + \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$ el lado derecho de la identidad se convierte en $$2\sin\left(x+\frac{3\epsilon}{2}\right)\cdot\frac{\sin\left( \frac{3\epsilon}{2}\right)-3\sin \left(\frac{\epsilon}{2}\right)}{\epsilon^3}$ $

Ahora utilice la serie de Taylor de $\sin x$ para deshacerse del $\epsilon^3$ término en el denominador [detalles omitidos]. Esto debe salir un principio de la serie $\frac{1}{2}+\textrm{constant}\cdot \epsilon^2+...$

Por lo tanto, ya que los $\epsilon$ $0$, $$\frac{d^3}{dx^3}\cos(x)=2\sin(x+0)\cdot\left(\frac{1}{2}+0+...\right)=\sin(x)$ $ como se esperaba.