¿Existe la desviación coestándar?

Question

Así que hay desviación estándar, varianza y covarianza, pero ¿hay una co desviación estándar?

Si no es así, ¿por qué no? ¿Hay alguna razón matemática fundamental o es sólo una convención?

Si es así, ¿por qué no se utiliza más, o al menos es muy difícil de encontrar mediante búsquedas en Google?

No quiero que esto sea una pregunta frívola, estoy tratando de cuestionar realmente las estadísticas en lugar de simplemente memorizar un montón de fórmulas.

Answer 1

Una propiedad útil de la desviación estándar es que tiene las mismas unidades que la media, por lo que las magnitudes de $\sigma_X$ y $\bar X$ son directamente comparables. Nunca he visto a nadie calcular la desviación coestándar (con lo que supongo que se refiere a la raíz cuadrada de la covarianza); si las unidades de $X$ y $Y$ se denotan como $[X]$ y $[Y]$ entonces las unidades de la covarianza son $[X][Y]$ y las unidades de la desviación co-estándar serían $\sqrt{[X][Y]}$ que no es particularmente útil (a menos que $X$ y $Y$ tienen las mismas unidades). Por otro lado, el correlación $\sigma_{XY}/(\sigma_X \sigma_Y)$ no tiene unidades, y es una escala muy común para informar de las asociaciones.

La varianza (en contraste con la desviación estándar) es útil porque generalmente tiene propiedades matemáticas más agradables; en particular

$$\sigma^2_{X+Y} = \sigma^2_X + \sigma^2_Y + 2 \sigma_{XY},$$ lo que se simplifica mucho cuando $X$ y $Y$ son independientes (por lo tanto $\sigma_{XY}=0$ ).

Mientras piensa en las formas de escalar las desviaciones, también podría considerar la coeficiente de variación $\sigma_X/\bar X$ (que no tiene unidades), o la relación entre la varianza y la media $\sigma^2_X/\bar X$ (que tiene unidades raras, pero tiene sentido en el contexto de una distribución de recuento como la de Poisson, que tampoco tiene unidades).

Answer 2

La pregunta parece de espaldas a la realidad. En matemáticas no inventamos nombres para cantidades "sólo porque podemos", sino porque la cantidad nombrada es útil por algo.

La pregunta del OP no da y razones por las que él / ella piensa que hay una cantidad útil que podría ser llamado "coStandard Deviation" y las respuestas están adivinando cosas que puede ser útil.

Para generalizar el concepto a la regresión lineal multivariable con $n$ variables, la "covarianza" se convierte en un $n \times n$ simétrico matriz . Ciertamente se puede hacer una definición sensata de la "raíz cuadrada de una matriz simétrica" siempre que sea definida positiva o semidefinida, pero es difícil pensar en un uso para ella en este contexto - y es no es lo mismo que tomar la raíz cuadrada de cada término ¡de la matriz por separado!

Por supuesto, la raíz cuadrada de un diagonal (por ejemplo, la matriz de varianza) no es más que la raíz cuadrada de los términos individuales, por lo que el concepto de "desviación estándar" se generaliza de forma obvia y útil, pero la "desviación coestándar" no, OMI. Y, en general, la "raíz cuadrada de una matriz" ni siquiera está definida de forma única, por lo que ¿qué raíz cuadrada concreta quieres elegir como coDesviación estándar?

Answer 3

La covarianza puede ser tanto positiva como negativa.

Así que la raíz cuadrada de la covarianza puede ser real o imaginaria.

Puedes comparar un número real con un número imaginario para ver su tamaño. Las unidades para la "co-desviación estándar" serían inconvenientes. No hay ningún beneficio en tomar la raíz cuadrada.