¿Un subconjunto no vacío, contable y compacto de un espacio métrico siempre contendrá un punto aislado?

Question

Sea $(X,d)$ un espacio métrico, $K \subseteq X$ es no vacío, numerable y compacto.

No pude encontrar un ejemplo donde tal K no tenga punto(s) aislado(s).

por lo tanto, quiero demostrar que siempre existirá un punto aislado.

Intenté primero asumir que ningún punto es aislado, luego quiero encontrar un recubrimiento abierto que no admita un subrecubrimiento finito. No sé cómo proceder a continuación.

Answer 1

Un subconjunto de un espacio topológico se dice que es perfecto si es cerrado y no tiene puntos aislados. Se puede demostrar (ver, por ejemplo, Prueba de que un conjunto perfecto es incontable) que un conjunto perfecto es incontable

Entonces, de hecho $K$ debe tener puntos aislados. Sea $K$ un subconjunto compacto y numerable del espacio métrico $(X,d)$ y supongamos que no tiene puntos aislados. Como $K$ es compacto, es cerrado en $X$, por lo que debe ser perfecto. Pero entonces, como se mencionó anteriormente, $K$ es incontable, lo que contradice la suposición de que $K$ era numerable.

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¡Edición: @DanielFischer señaló que la completitud es necesaria para mi declaración anterior! Como se mencionó en los comentarios, un subconjunto perfecto de un espacio no completo puede ser numerable.

Answer 2

Suponga que $K$ es numerable, compacto, no vacío y que no tiene puntos aislados. Digamos que $K=\{x_1,x_2,\ldots\}$. (Estos nombres aún no han sido asignados).

Tome $x_1\in K$, y un conjunto abierto $U_1\subset X$ tal que $x_1\in U_1.
Para $n\ge 2$, dado que $K$ no tiene puntos aislados, existe un punto $x_n\in U_{n-1}\setminus\{x_{n-1}\}$. Sea $U_n$ un conjunto abierto tal que $x_n\in U_n$ y $\overline{U_n}\subset U_{n-1}\setminus\{x_{n-1}\}$ (este conjunto abierto existe porque $K$ es métrico). Defina $F_n=\overline{U_n}\cap K. Note que cada $F_n$ es compacto, porque es un cerrado contenido en un compacto.

Pero $F=\bigcap_{n=1}^\infty F_n$ no está vacío, y $x_n\notin F$ para ningún $n\ge 1.

Esto prueba que ninguna sucesión en $K$ cubre a $K$. Contradicción.

Answer 3

Suponemos a lo largo de esta respuesta que

$(X,d)$ es un espacio métrico no vacío que no contiene puntos aislados.

Proposición 1: Si $x \in X$ se puede encontrar una bola cerrada $B$ disjunta de $\{x\}$.
Prueba
$X$ debe contener un punto $y$ distinto de $x$. Tomando $\alpha = d(x,y)$, la bola cerrada $B_y$ con centro en $y$ y radio $\frac{\alpha}{2}$ no puede contener a $x$. $\qquad \blacksquare$

Proposición 2: Si $B$ es cualquier bola cerrada en $X$ y $b \in B$, entonces existe una bola cerrada $B^{'} \subset B$
que no contiene al punto $b$.
Prueba
Si $b$ no es el centro $b_0$ de $B$, simplemente use la bola cerrada alrededor de $b_0$ de radio $\frac{d(b_0,b)}{2}$.

Si $b = b_0$, sea $\alpha_0$ el radio de $B$. Elija un punto $b^{'}$ en el interior de $B$ que no sea igual a $b_0$ y tome $\alpha = d(b_0,b^{'})$. Tomando $\alpha^{'} = \frac{1}{2} \text{min(}\alpha_0 - \alpha\text{, }\alpha\text{)}$, es fácil verificar que la bola cerrada $B^{'}$ alrededor de $b^{'}$ de radio $\alpha^{'}$ está contenida en $B$ y no contiene a $b$. $\qquad \blacksquare$

Proposición 3: Si $X$ es un espacio compacto, entonces una enumeración contable $(x_n)_{\,n \ge 0}$ con $x_n \in X$ nunca puede ser una enumeración completa para $X.
Prueba
Aplicando la proposición 2 (usar la proposición 1 para la bola cerrada inicial, $B_0$) construimos una cadena no creciente de bolas cerradas que satisfacen

$\tag 1 X \supset B_0 \supset B_1 \supset B_2 \dots \supset B_k \supset \dots $ $\tag 2 x_j \notin B_k \; \text{ para } \, 0 \le j \le k$

Dado que $X$ es compacto, podemos aplicar el teorema de intersección de Cantor. Así que existe un punto $\hat z$ perteneciente a todas las $B_k$, y por diseño ese punto no puede estar en la enumeración de $x_n$. $\qquad \blacksquare$