Declaración sobre matrices de $(I-A)^{-1}$

Question

Deje $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ y vamos a denotar $I$ $n \times n$ identitiy de la matriz.

Teorema. Si $(I-A)$ es invertible y $(I-A)^{-1}$ es una matriz no negativa y existe un elemento diagonal en $(I-A)^{-1}$, que es menor que el $1$, entonces al menos uno de los elementos en $A$ es negativo.

Pregunta. ¿Cómo podemos comprobar esta afirmación?

He intentado utilizar Perron–Frobenius teorema de $(I-A)^{-1}$, pero después me he tomado la eigenequation no sé cómo usar la condición de la diagonal elemento.

También he intentado binomial inversa teorema y Woodbury matriz identidad , pero tampoco me ayuda. Aunque creo que el uso de estas herramientas nos llevan muy lejos.

Answer 1

Que $$ B = (I-A)^{-1}, \qquad A = I-B^{-1}, $$ y que $B_{mm}<1$, $B\geq 0$ y $e_m$ sea el vector de la base con $1$ en $m$-posición.

Entonces $Be_m = v$ $v_m<1$ y $v\geq 0$ y $(Av)_m = v_m - 1 < 0$.