Demostrar una desigualdad en $l^2$ secuencias sobre $F_2$

Question

Denote $F_2$ el grupo libre no abeliano sobre dos letras $a, b$ .

Tenga en cuenta que cualquier elemento de $F_2$ es sólo una palabra formada por letras del conjunto $\{a,b,a^{-1},b^{-1}\}$ y la estructura del grupo viene dada por la concatenación de palabras, es decir $(aba^{-1})(a^2b)=abab$ .

Quiero demostrarlo:

Para cualquier $\{x_g\}_{g\in F_2}\in \mathbb{C}$ con $\sum_{g\in F_2}|x_g|^2=1$ tenemos $|\sum_{g\in F_2}x_g\overline{x_{ag}}|^2$ o $|\sum_{g\in F_2}x_g\overline{x_{bg}}|^2\leq \frac{1}{2}$ .

Aquí, $ag$ ( o $bg$ ) denotan la concatenación de $a, g$ ( o $b, g$ )en $F_2$ y $\overline{x_g}$ es la conjugación habitual de los números complejos.

¿Podría alguien ayudar a demostrar esto o dar un contraejemplo?

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( Añadido )

He aquí algunas observaciones sencillas:

Denote $S=support(x)=\{g\in F_2|x_g\neq 0\}$ y observamos que tenemos una unión disjunta (o partición) $$F_2=\{e\}\cup S_a\cup S_{a^{-1}}\cup S_b\cup S_{b^{-1}}$$

donde $e$ denota la palabra vacía en $F_2$ , $S_a$ denota el subconjunto de todas las palabras (en forma reducida) en $F_2$ que comienzan con la letra $a$ , $S_{a^{-1}}, S_b, S_{b^{-1}}$ se definen de forma similar.

Entonces, supongamos que $aS\cap bS=\emptyset$ entonces está claro que

$$|\sum_{g\in F_2}x_g\overline{x_{ag}}|^2\leq (\sum_{g\in F_2}|x_g|^2)(\sum_{g\in F_2}|x_{ag}|^2)\leq \sum_{g\in F_2}|x_{ag}|^2= \sum_{g\in aS}|x_g|^2 $$

$$|\sum_{g\in F_2}x_g\overline{x_{bg}}|^2\leq (\sum_{g\in F_2}|x_g|^2)(\sum_{g\in F_2}|x_{bg}|^2)\leq \sum_{g\in F_2}|x_{bg}|^2= \sum_{g\in bS}|x_g|^2 $$

desde $aS\cap bS=\emptyset$ , $\sum_{g\in aS}|x_g|^2 +\sum_{g\in bS}|x_g|^2\leq \sum_{g\in F_2}|x_g|^2=1$ por lo que la afirmación es válida.

Tenga en cuenta que si $S\subset S_a\cup S_b\cup\{e\}$ entonces $aS\cap bS=\emptyset$ sostiene al considerar que la primera letra es una palabra; pero en general, $aS\cup bS\neq \emptyset$ puede ocurrir, por ejemplo, si $S\subset S_{a^{-1}}$ entonces $aS\cup bS\neq \emptyset$ si $S$ contiene algunas palabras reducidas de la forma $a^{-1}ba^{-1}t, a^{-1}t$ . (Utilizando el hecho $a(a^{-1}ba^{-1}t)=b(a^{-1}t)$ ). Del mismo modo, se puede encontrar un resultado cuando $S\subset S_{b^{-1}}$ .

Basado en las simples observaciones anteriores, claramente, este problema involucra cosas muy complicadas en combinatoria y estimación de desigualdades, me atoro en probar el caso general, es decir, $S=support(x)$ es un conjunto arbitrario de $F_2$ . Así que creo que si la afirmación se mantiene en general, entonces debe haber alguna teoría avanzada detrás de ella que no conozco, tal vez el método de cohomología de grupo, etc.

Nótese también que la afirmación puede pensarse como una afirmación sobre la brecha del límite superior de la norma (ya que está claro que ambos no son mayores que 1 por la desigualdad de Cauchy-Schwarz), así que tal vez algún resultado de rigidez conocido podría ser útil para este problema, pero aún así, no tengo idea de cómo proceder con el argumento.

Answer 1

Este contraejemplo parece funcionar para $\frac{1}{2}$ y más allá:

$$x_g:=Cr^{\ell(g)}\qquad\forall g\in F_2$$

para la elección correcta de las constantes

$$C>0\qquad\mbox{and}\qquad 0\leq r<\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Aquí $\ell(g)$ denota la longitud de la palabra del elemento $g$ es decir, el número mínimo de letras necesarias en el alfabeto $\{a,a^{-1},b,b^{-1}\}$ para escribirlo.

En primer lugar, observe que hay un elemento de longitud $0$ es decir $1$ . Hay $4$ elementos de longitud $1$ es decir $a,a^{-1},b,b^{-1}$ . Y más generalmente, hay $4\cdot 3^{n-1}$ elementos de longitud $n$ . En efecto, escribiéndolos sin permitir cancelaciones de izquierda a derecha, hay $4$ opciones para la primera letra, y luego sólo $3$ opciones para cada letra adicional.

Con $x$ definida como la anterior, nótese que $0\leq 3r^2<1$ así que $$ \sum_{g\in F_2}|x_g|^2=C^2\sum_{g\in F_2}r^{2\ell(g)}=C^2(1+\sum_{n\geq 1}\sum_{\ell(g)=n}r^{2n})=C^2(1+\sum_{n\geq 1}4\cdot3^{n-1}r^{2n}) $$ $$ =C^2\left(1+\frac{4}{3}\frac{3r^2}{1-3r^2}\right)=C^2\frac{1+r^2}{1-3r^2}. $$ Así que

$$C:=\sqrt{\frac{1-3r^2}{1+r^2}}\quad\mbox{yields}\quad \sum_{g\in F_2}|x_g|^2=1$$

como se desee.

Ahora calculamos $$\sum_{g\in F_2}x_g\overline{x_{ag}}=C^2\left(r+\sum_{n\geq 1}\sum_{\ell(g)=n}r^{\ell(g)+\ell(ag)}\right). $$ Obsérvese que los elementos de longitud $n$ dividido en dos conjuntos disjuntos:

1) $3^{n-1}$ elementos que comienzan con $a^{-1}$ y tal que $\ell(ag)=n-1$ .

2) $3\cdot 3^{n-1}=3^n$ elementos que comienzan con $a,b,$ o $b^{-1}$ y tal que $\ell(ag)=n+1$ .

Por lo tanto, $$ r+\sum_{n\geq 1}\sum_{\ell(g)=n}r^{\ell(g)+\ell(ag)}=r+\sum_{n\geq 1}3^{n-1}r^{2n-1}+\sum_{n\geq 1}3^{n}r^{2n+1} $$ $$ =r+\left(\frac{1}{3r}+r\right)\sum_{n\geq 1}(3r^2)^n=r+\left(\frac{1}{3r}+r\right)\frac{3r^2}{1-3r^2}=\frac{2r}{1-3r^2}. $$ Así que $$ \sum_{g\in F_2}x_g\overline{x_{ag}}=C^2 \frac{2r}{1-3r^2}=\frac{2r}{1+r^2} $$ Por razones de simetría, encontramos la misma suma para $\sum_{g\in F_2}x_g\overline{x_{bg}}$ . Por lo tanto,

$$\left|\sum_{g\in F_2}x_g\overline{x_{ag}}\right|^2= \left|\sum_{g\in F_2}x_g\overline{x_{bg}}\right|^2=\left(\frac{2r}{1+r^2} \right)^2\qquad \mbox{with}\quad 0\leq r<\frac{1}{\sqrt{3}}. $$

Ahora $$ \lim_{r\rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}}\left(\frac{2r}{1+r^2} \right)^2=\frac{3}{4}. $$ Y para ser más precisos, esta función racional es creciente en $(0,1/\sqrt{3})$ . Así que tenemos un contraejemplo a su conjetura para $r$ lo suficientemente cerca de la izquierda de $\frac{1}{\sqrt{3}}$ . Y en realidad, obtenemos un resultado más fuerte: para cada $\alpha < \frac{3}{4}$ existe $x$ de la norma $1$ que viola las desigualdades:

$$\forall \alpha<\frac{3}{4}\qquad\exists \sum_{g\in F_2}|x_g|^2=1\qquad \left|\sum_{g\in F_2}x_g\overline{x_{ag}}\right|^2= \left|\sum_{g\in F_2}x_g\overline{x_{bg}}\right|^2>\alpha.$$

Answer 2

Para un elemento $g=x_1 x_2 ... x_n$ en $F_2$ , donde $x_i \in \{a,b,a^{-1},b^{-1}\}$ hay una expresión más corta. Por ejemplo, si $g=baa^{-1}b$ la expresión más corta es $bb$ . Definimos $\ell(g)$ que es la longitud de la expresión más corta de la palabra $g$ .

Para todos $g \in F_2$ , $|\ell(ag)-\ell(g)| \leq 1$ y $|\ell(bg)-\ell(g)| \leq 1$ .

Dejemos que $L \in \mathbb{N}$ y que $x^L:F_2 \rightarrow \mathbb{C}$ tal que $x^L_g = 1$ si $\ell(g)\leq L$ y $x^L_g=0$ si $\ell(g)>L$ .

Dejemos que $E_L= \{ g \in F_2| \ell(g)\leq L\}$ , $A_L= \{g \in E_L| \ell(ag)\leq L\}$ , $B_L= \{g \in E_L| \ell(bg)\leq L\}$

$\sum_g |x^L_g|^2 = \# E_L$ .

$\sum_g x^L_g \overline{x^L_{ag}}= \# A_L$

$\sum_g x^L_g \overline{x^L_{bg}}= \# B_L$

$\frac{\# A_L}{\# E_L} \mapsto 1$ y $\frac{\# B_L}{\# E_L} \mapsto 1$ cuando $L \mapsto + \infty$ .

Hay una $L$ tal que $\frac{\# A_L}{\# E_L} > 1/\sqrt{2}$ y $\frac{\# B_L}{\# E_L} > 1/\sqrt{2}$ .

Así que, $(\frac{1}{\sqrt{\# E_L}}x^L_g)$ es un contraejemplo.

Answer 3

Quiero dar algunas explicaciones sobre la elección de Julien de $x_g=Cr^{l(g)}$ según mi entendimiento.

Supongamos que tenemos otros supuestos que $x_g's$ son todos números reales positivos y $\sum_{g\in F_2}x_g^2=1$ entonces queremos encontrar el valor máximo de $J=\sum_{g\in F_2}x_gx_{ag}+\sum_{g\in F_2}x_gx_{bg}$ .

A continuación, utilizamos el método del multiplicador de Lagrange (tal vez no sea aplicable para tratar con sumas infinitas, de todos modos, veamos qué sucede).

Def $L=\sum_{g\in F_2}x_gx_{ag}+\sum_{g\in F_2}x_gx_{bg}+\lambda(1-\sum_{g\in F_2}x_g^2)$ ,

entonces $\frac{\partial L}{\partial x_g}=x_{ag}+x_{a^{-1}g}+x_{bg}+x_{b^{-1}g}-2\lambda x_g=0$ para todos $g\in F_2$ .

Así que $\frac{x_{ag}+x_{a^{-1}g}+x_{bg}+x_{b^{-1}g}}{x_g}$ son constantes para todo $g\in F_2$ .

Ahora, tenga en cuenta para cualquier fijo $e\neq g\in F_2$ , entonces en las cuatro palabras $\{ag, a^{-1}g, bg, b^{-1}g\}$ tenemos exactamente tres palabras con longitud $l(g)+1$ y una palabra con longitud $l(g)-1$ .

Así que, en la elección de Julien $x_g=Cr^{l(g)}$ podemos comprobar que

Cuando $g\neq e$ , $\frac{x_{ag}+x_{a^{-1}g}+x_{bg}+x_{b^{-1}g}}{x_g}=\frac{3Cr^{l(g)+1}+Cr^{l(g)-1}}{Cr^{l(g)}}=3r+\frac{1}{r}$ .

Cuando $g=e$ , $\frac{x_{ag}+x_{a^{-1}g}+x_{bg}+x_{b^{-1}g}}{x_g}=4r$ .

Así que, al menos bajo nuestros supuestos y la explicación anterior vemos que la elección de Julien de $x_g$ es casi la mejor, pero aún así hay que tener en cuenta que en realidad queremos encontrar el valor máximo $J'=(\sum_{g\in F_2}x_gx_{ag})^2+(\sum_{g\in F_2}x_gx_{bg})^2$ y $4r\neq 3r+\frac{1}{r}$ en general.

Así que tal vez podría haber una mejor opción de $x_g$ para dar un límite superior mayor.

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Ahora, aquí hay más resultados. Consideramos $x_g=C_{l(g)}r^{l(g)}$ como siempre, $l(g)$ es la longitud de palabra de $g$ .

Entonces, siguiendo la idea anterior, si suponemos que $\frac{x_{ag}+x_{a^{-1}g}+x_{bg}+x_{b^{-1}g}}{x_g}$ son constantes $k$ para todos $g\in F_2$ .

Entonces, tendríamos una relación de recurrencia para $C_{l(g)}$ es decir, $k=\frac{4C_1r}{C_0}=\frac{3C_{n+1}r+C_{n-1}r^{-1}}{C_n}, \forall n\geq 1$ .

Entonces, bajo el supuesto de que $\sum_{g\in F_2}x_g^2=1$ lo que equivale a la relación que $\sum_{n=1}^{\infty}C_n^2r^{2n}3^{n-1}=\frac{1-C_0^2}{4}$ ahora, entonces el cálculo muestra que $I:=\sum_{g\in F_2}x_gx_{ag}=\sum_{g\in F_2}x_gx_{bg}=\frac{k}{4}$ y no es difícil (escribiendo la expresión para $C_{n}$ utilizando la relación de recurrencia) para demostrar que todavía en este caso, para cualquier $\epsilon>0$ podemos encontrar $\{C_{l(g)}\}$ tal que $\frac{\sqrt{3}}{2}-\epsilon \leq I$ y siempre $I\leq \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Así, esto demuestra que en una situación un poco más amplia, el ejemplo de Julien sigue siendo eficiente.