¿Cómo resolver esta desigualdad con otra forma?

Question

Quiero resolver esta desigualdad $$ x ^ 3-3 x ^ \sqrt 2 + 2 {(x+2) ^ 3}-6 x\geqslant 0. $$ he probado. Poner $t = \sqrt{x + 2}$. ¿Entonces, obtenemos $$t^6+2t^3-9t^4+18t^2-8\geqslant 0.$ $ Equavalent % $ $$(-2 + t)^2 (1 + t)^2 (-2 + 2 t + t^2)\geqslant 0.$de esta desigualdad, tenemos $x\geqslant 2 \left(1-\sqrt{3}\right). $ Cómo resolver esta desigualdad con otra forma?

Answer 1

Como se mencionó en el comentario, su enfoque se ve fina. Específicamente, para acercarse a una solución hay que "quitar" el surd y observando que:

$$ \sqrt{(x+2)^3}= \big({\sqrt{x+2}}\big)^3 $$

$ t = \sqrt{x+2} $ te queda como la sustitución sólo es útil.

Añado: el paso de "Equavalent a" es realmente un grande, pero si mostró ese trabajo, no veo nada a cambio.