Probar es igual a $\sum _{n=1}^{\infty }\:\frac{x^n}{n}$, $-\ln\left(1-x\right)$ $|x| < 1$

Question

Probar $$\sum _{n=1}^{\infty }\:\frac{x^n}{n} = -\ln\left(1-x\right),$$ for $ | x | < 1$.

¿Mucho título he buscado y visto algunas soluciones mediante Taylor Series, pero todavía no hay una forma más de intuative para hacer esto?

Answer 1

Desde $|x|<1$, la serie en el lado izquierdo es absolutamente convergente por comparación con una serie geométrica.
Además, $\frac{x^n}{n}=\int_{0}^{x}y^{n-1}\,dy$, por lo tanto: $$ \sum_{n=1}^{N}\frac{x^n}{n} = \int_{0}^{x}\frac{1-y^N}{1-y}\,dy =-\log(1-x)-\int_{0}^{x}\frac{y^N}{1-y}\,dy.$ $ intercambiando $\sum$ y $\int$. Ahora sólo tenemos que tener en cuenta el límite de $N\to +\infty$, y que es justo $-\log(1-x)$ desde $|x|<1$ subvenciones: $$ \left|\int_{0}^{x}\frac{y^N}{1-y}\,dy\right|\leq |x|^N \int_{0}^{x}\frac{dy}{1-y}\to 0.$ $

Answer 2

Aquí es intuitivo:

$$-\ln(1-x)=\int_0^x\frac1{1-t}\ dt=\int_0^x\left(1+t+t^2+t^3+\dots\ \right)\ dx\\=x+\frac{x^2}2+\frac{x^3}3+\frac{x^4}4+\dots$$