Demostrando que $\sum_{k=0}^n\binom nk\frac{B_k}{n+2-k}=\frac{B_{n+1}}{n+1}$

Question

Sea $B_k$ los números de Bernoulli. Estoy buscando una prueba para lo siguiente $$\sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} \frac{B_k}{n+2-k} = \frac{B_{n+1}}{n+1}$$ ¿Alguien podría ayudarme, por favor?

Answer 1

Nos gustaría demostrar que $$ \sum_{k=0}^n\binom nk\frac{B_k}{n+2-k}=\frac{B_{n+1}}{n+1} \tag1 $$ lo cual se reescribe $$ \sum_{k=0}^n\frac{1}{(n-k)!(2+n-k)}\cdot \frac{B_k}{k!}=\frac{B_{n+1}}{(n+1)!} \tag2 $$ en el lado izquierdo reconocemos el coeficiente de un término general de un producto de Cauchy de dos series de potencias, $$ f(x):=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^n}{n!(2+n)}= \qquad g(x):=\sum_{k=0}^\infty\frac{B_n}{n!}x^n=\frac{x}{e^x-1} \tag3 $$ al integrar término a término $\displaystyle te^t=\sum_{k=0}^\infty\frac{t^{n+1}}{n!}$ entre $0$ y $x$, se encuentra que $$ f(x)=\frac{1+e^x(-1+x)}{x^2} \tag4 $$ entonces se puede concluir observando que $$ f(x)g(x)=\frac1x\left(\frac{x}{e^x-1}-1+x\right).\tag5 $$

Answer 2

Usando la fórmula explícita para los polinomios de Bernoulli $$B_{n}\left(x\right)=\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}B_{k}x^{n-k} $$ podemos ver que $$xB_{n}\left(x\right)=\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}B_{k}x^{n-k+1} $$ así que integrando ambos lados obtenemos $$\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}\frac{B_{k}}{n-k+2}=\int_{0}^{1}xB_{n}\left(x\right)dx $$ y ahora usando la identidad bien conocida $$\int B_{n}\left(x\right)dx=\frac{B_{n+1}\left(x\right)}{n+1} $$ obtenemos $$\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}\frac{B_{k}}{n-k+2}=\frac{B_{n+1}\left(1\right)}{n+1}-\frac{B_{n+2}\left(1\right)-B_{n+2}\left(0\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)} $$ y dado que para $n>1$ tenemos $B_{n}=B_{n}\left(1\right)=B_{n}\left(0\right),$ finalmente obtenemos $$\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}\frac{B_{k}}{n-k+2}=\color{red}{\frac{B_{n+1}}{n+1}}.

Answer 3

Ten en cuenta que tu relación solo es verdadera para $n\ge1$. Ya que,

$$\binom nk\frac1{n+2-k}=\frac1{n+1}\binom{n+1}k-\frac1{(n+1)(n+2)}\binom{n+2}k$$

tenemos

$$\begin{align} \sum_{k=0}^n\binom nk\frac{B_k}{n+2-k}&=\frac1{n+1}\sum_{k=0}^n\binom{n+1}kB_k-\frac1{(n+1)(n+2)}\sum_{k=0}^n\binom{n+2}kB_k\\ &=\frac1{n+1}\sum_{k=0}^n\binom{n+1}kB_k-\frac1{(n+1)(n+2)}\left(\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+2}kB_k-\binom{n+2}{n+1}B_{n+1}\right)\\ &=\frac{B_{n+1}}{n+1} \end{align}$$

porque $\sum_{k=0}^n\binom{n+1}kB_k$ y $\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+2}kB_k$ son cero para $n\ge1$.