¿Hay alguna idea general sobre que $d$, $\mathbb Z[\sqrt d]$ un dominio ideal principal (PID)?
Como por ejemplo $\mathbb Z[\sqrt{-1}]$ y $\mathbb Z[\sqrt 2] $ son PIDs, pero $\mathbb Z[\sqrt{-5}] $ no es un PID.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
j0equ1nn
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Como dijo tu pregunta es demasiado general como para que nosotros tengamos una respuesta - es un problema abierto, pero de lo que dijo después de que yo creo que quería preguntar esto más específica pregunta: para enteros negativos,$d$, cuando es el anillo de enteros de $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ un PID? A que tenemos una respuesta, pero la prueba es altamente no trivial.
Primera nota de que este anillo de enteros es $\mathbb{Z}[\omega]$ donde $\omega=\frac{1+\sqrt{d}}{2}$ si $d\equiv 1 \bmod 4$, e $\omega=\sqrt{d}$ si $d\equiv 2,3 \bmod 4$.
Entonces, debido a Stark, 1966, sabemos que $\mathcal{O}_d$ es un PID $\iff d=$-1, -2 , -3 , -7, -11, -19, -43, -67, o -163.
Stark prueba es duro. Yo mismo no lo entiendo. Pero yo no entiendo los casos en los que se puede mostrar es un PID muestra un dominio Euclidiano, que (para $d< 0$) es verdadera $\iff d=-1,-2,-3,-7,$ o $-11$. Conseguir que la parte tiene que ver con el campo de la norma y haciendo un montón de aritmética. Usted debe ser capaz de encontrar en los libros de texto.
