Demostrando una identidad Binomial

Question

Problema $\boldsymbol{25}$ [$\boldsymbol{5}$ Puntos]: Mostrar que $$ \sum_{k=0}^n\binom{n+k}{k}\frac1{2^k}=2^n $$ Sugerencia: Indicar el lado izquierdo por $f(n)$ y demostrar que $f(n+1)=2f(n)$.

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Puede usted por favor me ayude con el problema 25. Necesito demostrar que $f(n+1)=2 f(n)$ donde $f(n)$ es el lado izquierdo de la expresión, a partir de ahí puedo hacerlo a mi auto. He intentado usar el teorema binominal forma y el uso de diferentes sumatoria de identidades, pero yo no puedo llegar. Por favor me ayude.

Answer 1

Mostrando la sugerencia es sólo un cálculo sencillo. Si $f(n) = \sum \binom{n+k}{k} \frac{1}{2^k}$, entonces \begin{align*} f(n+1) &= \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+k+1}{k} \frac{1}{2^k} \\ &= \sum_{k=1}^{n+1} \binom{n+k}{k-1} \frac{1}{2^k} + \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+k}{k} \frac{1}{2^k} \\ &= \frac{1}{2} \sum_{k=0}^n \binom{n+k+1}{k} \frac{1}{2^k} + \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+k}{k} \frac{1}{2^k} \\ &= \frac{1}{2}\left[ \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+k+1}{k} \frac{1}{2^k} - \binom{2n+2}{n+1}\frac{1}{2^{n+1}}\right] \\ &\quad + \left[ \sum_{k=0}^{n} \binom{n+k}{k} \frac{1}{2^k} + \binom{2n+1}{n+1} \frac{1}{2^{n+1}} \right] \\ &= \frac{1}{2} f(n+1) + f(n) + \frac{1}{2^{n+2}} \left[ 2\binom{2n+1}{n+1} - \binom{2n+2}{n+1} \right] \\ &= \frac{1}{2} f(n+1) + f(n), \end{align*} y así $f(n+1) = 2f(n)$. Ahora, mostrando el siguiente resultado por inducción.