¿Ellos son la misma cosa: la distribución de Wigner en cuántica, ecuación de Boltzmann y la función de Wigner en óptica cuántica?

Question

Sabemos que el quantum de la ecuación de Boltzmann (QBE) es una ecuación de movimiento para la interacción de la función de Green $G^<(\vec{x}_1,t_1;\vec{x}_2,t_2)\equiv\mathrm{i}\langle \psi^\dagger(x_2)\psi(x_1)\rangle$ cuando se transformó para el centro de masa y coordenadas relativas, acuñada también como de distribución de Wigner. Además, en la óptica cuántica e información cuántica, tenemos otra función de Wigner para el espacio de fase de descripción, que se define como $W(x,p) = \frac{1}{2\pi\manejadores} \int_{-\infty}^{\infty}{\mathrm{d} \xi \mathrm{e}^{\mathrm{i} p \xi/\manejadores} \langle x-\frac{\xi}{2} \vert\psi\rangle \langle \psi\lvert x+\frac{\xi}{2}\rangle} $. (Ciertamente, hemos definición más completa para más modos y la densidad de las matrices.)

Por desgracia, sucede que soy ese tipo de persona que se preocupa por la nomenclatura. Ambas de estas dos funciones de distribución de Wigner se quasiprobability distribuciones, es decir, no necesariamente positivo. Y aun recuerdo que QBE comparte algunos de forma similar con cierta ecuación para la función de Wigner en óptica cuántica. Sin embargo, estos no son más que restos. Supongo que son cosas diferentes, pero debe haber alguna relación plausible. ¿Alguien puede arrojar luz sobre esto?

Actualización Para cualquier persona que esté interesado en esta cuestión, además de la respuesta debajo, también puede ser útil para referirse a Cap. 4 & 16 de Schieve y Horwitz el libro de Cuántica, Mecánica Estadística.

Answer 1

Yo diría que no son exactamente el mismo, pero depende del contexto. La primera de las definiciones:

• el Wigner transformación de un operador $\hat{A}$ se define como $$\tilde{W}\left[\hat{A}\right]=\int dz\left[e^{\mathbf{i}pz/\hbar}\left\langle x-z/2\right|\hat{A}\left|x+z/2\right\rangle \right]$$ y esta es una extraña función. Verás que a la izquierda, el operador se proyecta en un espacio real de la representación, entonces la transformada de Fourier. Puede encontrar más detalles (sobre todo el vínculo con el Weyl transformar) en la revisión maravilloso por Hillery, M., O'Connel, R. F., Scully, M. O. & Wigner, E. P. las funciones de Distribución física: Fundamentos, Phys. República 106, 121-167 (1984) , que es, lamentablemente, más allá de un paywall.

• el Wigner transformación de la densidad operador $\hat{\rho}=\left|\Psi\right\rangle \left\langle \Psi\right|$ es, entonces, naturalmente, se define como la Wigner transformar $$W\left(p,x\right)=\int dz\left[e^{\mathbf{i}pz/\hbar}\left\langle x-z/2\right|\hat{\rho}\left|x+z/2\right\rangle \right]$$ y es acuñado Wigner función en ese contexto.

• la función de Green no es un operador, es una función de correlación, definido como: $G\left(x_{1},x_{2}\right)=\left\langle \hat{T}\left[\hat{a}\left(x_{1}\right)\hat{a}^{\dagger}\left(x_{2}\right)\right]\right\rangle $ donde $\hat{T}$ es el momento de pedidos operador, $\hat{a}$ el (fermionic o bosonic) la destrucción del operador, y $\left\langle \cdots\right\rangle $ representa el promedio de proceso: podría ser $\left\langle \cdots\right\rangle =\left\langle N\right|\cdots\left|N\right\rangle $ si usted está trabajando con un número de estados $\left|N\right\rangle$ o $\left\langle \cdots\right\rangle =\text{Tr}\left\{ e^{-\beta H}\cdots\right\} /\text{Tr}\left\{ e^{-\beta H}\right\} $ si está trabajando con una térmica promedio ($\beta=\left(k_{B}T\right)^{-1}$ es una inversa de la temperatura en ese caso), ... tenga en cuenta que hay otros convenios para el Verde de las funciones, pero no importa aquí. La transformada de Fourier transformada de la función de Green lee $$G\left(p,x\right)=\int dz\left[e^{\mathbf{i}pz/\hbar}G\left(x-z/2,x+z/2\right)\right]$$ and it looks like a Wigner transform of the Green function, but it should be more appropriate to call it a Fourier transform of the Green function when you choose $x_{1,2}=x\mp z/2$ for the components. In condensed matter theory, $G\left(p,x\right)$ is often called a mixed-Fourier Green function (the full Fourier transform would have given $G\left(p_{1},p_{2}\right)$) o un cuasi-clásica de la función de Green para la razón.

En el límite de $\hbar/\tilde{p}\tilde{x}\ll1$ (llamados cuasi-límite clásico), con $\tilde{p}\tilde{x}$ el espacio de la fase de exploración del sistema, la ecuación de movimiento de la cuasi-clásica de la función de Green es el Boltzman (transporte) de la ecuación. El cuasi-clásicas Verde funciones no están normalizadas, por lo que no puede ser interpretado (lo que significa) como cuasi-distribución de probabilidad.

Que yo recuerde, el cuasi-clásica ecuación de movimiento para la función de Wigner no es el Boltzman uno, pero el de Liouville: la colisión término está ausente, ya que no hay auto-método de energía asociados con la matriz de densidad. Uno tiene que trabajar con la Lindblad ecuación para la densidad de la matriz, mientras que la auto-método de energía es suficiente cuando se trabaja con la cuasi-clásica de la función de Green. Otro método para lidiar con los sistemas abiertos cuando se trabaja con la matriz de densidad, es el llamado método estocástico, ver por ejemplo, Paredes, D. F. Y Milburn, G. J. óptica Cuántica (Springer-Verlag, 1994).

Para concluir, la nota me he puesto el tiempo de debajo de la alfombra de la explicación anterior. Por una buena razón: el tiempo es siempre más complicado de tratar en el Wigner-Weyl transformación, especialmente en el cuasi-límite clásico y con el Verde de las funciones de método. El uso de la función de Wigner no es un gran problema cuando el tiempo es tomado en cuenta. Curso de tratar con el Lindblad ecuación no es un tema sencillo... pero eso es otra historia :-)