Como $\pi$ tiene infinitos dígitos en su expansión decimal, se podría argumentar que sus dígitos se repetirán después de un número finito de cifras. Si es así, es un número racional. ¿Qué hay de malo en este argumento?
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knatten
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Supongo que estás mezclando el hecho de que algún dígito tendrá que reaparecer infinitas veces en la expansión (ya que hay infinitos decimales que rellenar y sólo 10 opciones para cada uno) -esto es correcto- con la idea (incorrecta) de que esto significa que la expansión será repitiendo .
( Adenda: en realidad se me ocurre que puede haber estado pensando en la idea de que algunos bloque de dígitos reaparecerá con una frecuencia infinita. Esto también es correcto. De hecho, por la misma razón que al menos un dígito aparecerá infinitamente a menudo, habrá un bloque de dígitos de longitud $n$ para cualquier $n$ que se repite infinitas veces. Pero, como espero que muestren los comentarios más abajo, esto sigue siendo diferente de se asienta en un patrón que se repite .)
Dado que el argumento no hace uso de ninguna característica especial de $\pi$ Para ver lo que ocurre podemos considerar cualquier número irracional. Aquí hay uno fabricado para que quede claro lo que pasa con los dígitos a la larga:
$0.101100111000111100001111100000...$
Este número fue diseñado para que pudiera asegurarse de que la expansión decimal no se repitiera eventualmente. No hay ningún segmento de los decimales tal que eventualmente la expansión consista en este segmento una y otra vez, porque las secuencias de 1's y 0's se hacen cada vez más largas.
Ahora bien, lo que entendí que decías es que como hay infinitos lugares en la expansión, algunos dígitos tienen que ocurrir con infinita frecuencia. Esto es correcto. (Es una consecuencia de la principio de encasillamiento .) Sin embargo, no se repiten. En el caso que nos ocupa, los dígitos 0 y 1 se dan con una frecuencia infinita, pero no de forma repetida. Del mismo modo, en $\pi$ Algunos dígitos deben producirse con una frecuencia infinita, pero nunca se establecen en un ciclo que se repita.
Michael Hardy
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$$ 3.1415926535\ldots $$ El dígito $1$ "repite" ya que aparece en el tercer lugar después de la coma después de haber aparecido antes en el primer lugar después de la coma; igualmente $3$ se repite ya que aparece en el noveno lugar después del punto decimal después de aparecer anteriormente antes del punto decimal, y $5$ se repite de forma similar.
El principio de encasillamiento dice que ese tipo de "repetición" debe ocurrir a más tardar en el 11º dígito, ya que sólo $10$ los dígitos pueden ser distintos.
Pero ese no es el tipo de "repetición" del que se puede deducir que un número es racional. Eso implica periodicidad.
Austin Mohr
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Considere la Constante de Champernowne : $$ 0\ .\ 1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6\ 7\ 8\ 9\ 10\ 11\ 12\ 13\ \dots $$
Se hace contando en voz alta y escribiendo el número que se dice. (Fíjate que no pretendo que el número "13" ocupe un solo valor posicional, sino que escribo un "1" y luego un "3").
Este número tiene infinitas cifras, ya que hay infinitos números para contar. El número no puede ser expresado como una cadena finita de dígitos que se repiten infinitamente, ya que no encontrarás una repetición en el conjunto de números de conteo.
No hay nada malo en el argumento
If pi's digits repeat after some finite segment, then it is rational.de la misma manera que no hay nada malo en el argumento
If 1+1 = 3, then 4 = 6.Pero en ambos casos el lado izquierdo es falso, por lo que la implicación es verdadera sólo trivialmente. $\pi$ se sabe que es irracional (de hecho, trascendental).
Slava Fomin II
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Yo luché con esta teoría hasta que leí un artículo similar al que aparece a continuación en el que se esbozaba la realidad del infinito.
http://www.scientificamerican.com/article.cfm?id=strange-but-true-infinity-comes-in-different-sizes
"Tomemos, por ejemplo, los llamados números naturales: 1, 2, 3 y así sucesivamente. Estos números son ilimitados, por lo que la colección, o conjunto, de todos los números naturales tiene un tamaño infinito. Pero, ¿hasta qué punto es infinito? Cantor utilizó un elegante argumento para demostrar que los naturales, aunque infinitamente numerosos, son en realidad menos numerosos que otra familia común de números, los "reales". (Este conjunto comprende todos los números que pueden representarse como un decimal, aunque esa representación decimal tenga una longitud infinita. Por lo tanto, 27 es un número real, al igual que π, o 3,14159 .)
De hecho, Cantor demostró que hay más números reales entre el cero y el uno que números en todo el rango de los naturales. Lo hizo por contradicción, lógicamente: Supone que estos conjuntos infinitos tienen el mismo tamaño, y luego sigue una serie de pasos lógicos para encontrar un fallo que socava esa suposición. Razona que los naturales y este subconjunto cero a uno de los reales tienen el mismo número de miembros, lo que implica que los dos conjuntos pueden ponerse en correspondencia uno a uno. Es decir, los dos conjuntos se pueden emparejar de manera que cada elemento de cada conjunto tiene un -y sólo un- "compañero" en el otro conjunto".
