Independencia afín $\iff$ linealmente independientes

Question

Supongo que tengo algunos problemas para conseguir mi cabeza alrededor de la noción de independencia afín. Como yo he sido enseñado, un conjunto de vectores $\{\vec{x_1},\ldots,\vec{x_n}\}\subset \mathbb{R}^d$ es affinely independiente si su casco afín tiene dimensión $n-1$. En su lugar quiero pensar linealidad en $\mathbb{R}^{d+1}$, y me han dicho que puedo. El reclamo es que mi conjunto de vectores es affinely independiente si y sólo si $\{\hat{x_i}\}$ es linealmente independiente, donde $\hat{x_i}=(1,\vec{x_i})$. ¿Algún consejo para probar tal cosa?

Answer 1

Los puntos de $x_k$ son afines independiente cuando $$\sum \lambda_k x_k = 0 \text{ con }\sum \lambda_k =0$$ implica a todos los $\lambda_k = 0$.

Los vectores $\hat x_i = (1, x_i)$ son linealmente independientes si $$\sum \lambda_k \hat x_k = 0$$ implica $\lambda_k=0$ todos los $k$. Pero ya que el primer componente de $\hat x_k$ siempre $1$ la suma de los primeros componentes es $\sum \lambda_k$ el cual debe ser cero. Así que los mismos coeficientes puede ser usada para probar/refutar afín a la independencia.

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Para entender la definición de afín a la independencia: supongamos que existen $\lambda_k$ tal que $\sum_k \lambda_k = 0$ y $$\sum_k \lambda_k v_k = 0.$$ Si los coeficientes $\lambda_k$ no son todos iguales a cero, existe uno que es diferente de $0$. Supongamos $\lambda_1 \neq 0$. Dividiendo todo por $-\lambda_1$ también se puede suponer que $\lambda_1 = -1$. Esto significa que $\lambda_2+\dots+\lambda_n=1$ y que $$v_1 = \lambda_2 v_2 + \dots + \lambda_n v_n$$ es decir, $v_1$ es en el afín casco de $\lambda_2,\dots, \lambda_n$. De modo que el casco no puede ser $n-1$ dimensiones.