Por Qué Cohomology Grupos?

Question

¿Por qué necesitamos cohomology grupos? Homología de grupos son más fáciles de calcular y dados dos espacios topológicos, hay un isomorfismo en la homología de grupos, si y sólo si existe un isomorfismo en cohomology grupos. Entonces, ¿por qué las necesito?

Answer 1

Razón Fundamental por la que cohomology es más poderoso es aquel singular cohomology tiene un natural de la estructura de anillo sobre ellos. Si $\varphi$ $\psi$ $R$valores $m$ $n$- cochains en un espacio topológico $X$, entonces se puede definir una $(m+n)$ cochain $\varphi \smile \psi$ por

$$(\varphi \smile \psi)([v_0, \cdots, v_{m+n}]) = \varphi([v_0, \cdots, v_m]) \psi([v_m, \cdots, v_{m+n}])$$

Este emparejamiento desciende a un emparejamiento $H^n(X;R) \times H^m(X; R) \to H^{n+m}(X;R)$ en cohomology. Por lo tanto, $H^*(X;R) := \bigoplus_i H^i(X;R)$ automáticamente tiene un gradual estructura de anillo.

La razón intuitiva es la homología es acerca de las clases de equivalencia de las cadenas en $X$, mientras que cohomology es acerca de las clases de equivalencia de anillo de las funciones con valores de más de cadenas en $X$. Las funciones se pueden multiplicar (multiplicar los valores pointwise), mientras que simplices no puede.

Esta estructura de anillo es un potente invariante. Por ejemplo, $\Bbb{CP}^2$ $S^2 \vee S^4$ tienen el mismo (co)homología de grupos en todas las dimensiones. Sin embargo, no son homotopy equivalente como la integral cohomology anillos diferentes: la Copa de la plaza de generador de $H^2$ $H^*(S^2 \vee S^4) \cong H^*(S^2) \oplus H^*(S^4)$ es cero, mientras que la copa de la plaza de generador de $H^2$ $H^*(\Bbb{CP}^2)$ es trivial.

(Tenga en cuenta que esto también demuestra que el Hopf mapa no es nullhomotopic, demostrando $\pi_3(S^2)$ es trivial. De hecho, una generalización de esta idea es el invariante de Hopf.)

Answer 2

Cita de Elementos de Topología Algebraica por J. R. Munkres:

Una respuesta es que cohomology aparece naturalmente cuando uno estudia el problema de la clasificación, hasta homotopy, mapas de un espacio en otro. Otra es que cohomology se trata de cuando uno se integra formas diferenciales en los colectores. Otra respuesta es que [...] el cohomology grupos tienen un adicional de estructura algebraica -- que de un anillo -- y que este anillo se puede distinguir entre los espacios cuando los grupos no se.

Answer 3

Otros han dado el primer razones por las que surgió históricamente, y que se refieren a un primer curso en topología algebraica. Pero un punto más que viene de un más avanzadas perspectiva: la gavilla cohomology tiene una definición natural utilizando inyectiva resoluciones, y estos existen en cualquier categoría de las poleas. Puede definir gavilla de homología por proyectivas de las resoluciones, pero estos no siempre existen. Ver http://mathoverflow.net/questions/5378/when-are-there-enough-projective-sheaves-on-a-space-x

Así étale cohomology y otros derivados functor cohomologies son más naturales que las correspondientes homologías.

Answer 4

Cohomology aparece naturaly. Muchos de los problemas se resuelven localmente y, a continuación, las soluciones locales pegados juntos para construir soluciones globales, y cohomology es la descripción precisa de cómo hacerlo.