Encontrar todas las soluciones de la igualdad $y^2=x^3+23$ $x,y$ de números enteros

Question

Encontrar todas las soluciones de la igualdad $y^2=x^3+23$ $x,y$ de números enteros

Supongo que x no puede ser incluso. porque podemos aplicar prueba mod 4

decir $x=2k$ $y^2=8k^3+23\equiv3\mod(4)$

pero esto no es posible, puesto que el cuadrado de un número entero es congruente a $0$ o $1$ $\mod (4)$

sea de la forma $x$$4k+3$ o $4k+1$

$x=4k+3$ es posible por la misma razón, pero para el último caso la falla de la prueba.

¿cualquier sugerencias?

Answer 1

No hay ningún número entero de soluciones.

Usted se ha señalado ya que el $x$ no se puede aún, debido a que la ecuación sería entonces fallar mod $4$; tan sólo necesitamos considerar $x$ impar. A continuación, $x^3+23$ es incluso, así que debe ser un múltiplo de $4$, de donde $x \equiv 1 \bmod 4$.

No podemos obtener una contradicción a partir de una mayor congruencia consideraciones. Pero desde $23 = 3^3 - 2^2$ tratamos de agregar $4$ en ambos lados, obteniendo $$ y^2 + 4 = x^3 + 27 = (x+3) (x^2-3x+9), $$ y observar que $x \equiv 1 \bmod 4$ implica $x^2 - 3x + 9 \equiv 1 - 3 + 9 \equiv 3 \bmod 4$. Ya que también se $x^2-3x+9 > 0$ podemos deducir que $x^2-3x+9$ tiene un factor primo $p \equiv 3 \bmod 4$. Pero esto es imposible por la reciprocidad cuadrática: $y$ sería una raíz cuadrada de $-4 \bmod p$. QED

(De hecho mwrank informa de que no hay aún ningún soluciones racionales, pero eso no es un elemental de la prueba.)

[Añade más adelante: Ver Keith Conrad Ejemplos de Mordell la Ecuación de para más ejemplos de primaria, pero no trivial pruebas de que ciertos las ecuaciones de esta forma $y^2 = x^3 + k$ no se entero de soluciones, y también algunos de los ejemplos donde un vacío lista de soluciones de $y^2 = x^3 + k$ puede ser probado completa.]