La siguiente es una pregunta elemental de probabilidad relacionada con una generalización del famoso "experimento de la aguja de Buffon" que permite estimar $\pi$ contando cuántas veces una aguja lanzada al azar cruza una línea en una hoja de papel rayada. Si sustituimos la aguja por un alambre rígido con la forma de cualquier curva plana suave a trozos, creo que es bien sabido que el número esperado de cruces de líneas depende sólo de la longitud del alambre y no de su forma específica.
Estoy buscando una prueba elemental de este hecho en el caso en que el alambre consiste en dos segmentos de línea unidos de extremo a extremo. Los únicos parámetros en este caso son las longitudes de los dos segmentos de línea y el ángulo con el que se unen; me gustaría demostrar que el número esperado de cruces depende sólo de la suma de las longitudes. Si sirve de ayuda, puedo suponer que los dos segmentos de línea son muy pequeños en comparación con el espacio entre las líneas del papel. ¿Alguna idea?
Añadido: Varios han argumentado que esto se deduce simplemente de la linealidad de la expectativa, pero a mí no me convence. Supongamos que la expectativa de un único segmento de longitud $\ell$ viene dada por $\ell^2$ . Entonces, si $X$ y $Y$ son las variables aleatorias que representan las dos agujas que forman el hilo tendríamos $E(X+Y) = E(X) + E(Y) = \ell_X^2 + \ell_Y^2$ y esto no es función de $\ell_X + \ell_Y$ (aunque está en función de $\ell_X$ y $\ell_Y$ ). Por supuesto, sabemos en secreto que $E(X) = C \ell_X$ pero mi objetivo al hacer esta pregunta es demostrar este hecho sin calcular nada.
