En el siguiente comentario: Solución de $\large\binom{x}{n}+\binom{y}{n}=\binom{z}{n}$ $n\geq 3$ $$ \binom{2n-1}{n} + \binom{2n-1}{n} = \binom{2n}{n} $$
Estoy preguntando sobre el significado de esta ecuación - yo.e por qué es cierto.(por supuesto que puedo ver matemáticamente por qué esto es cierto).
También estoy pensando en si hay alguna ecuación general de que esto es sólo privada de los casos (i.e ecuación que se haga también por el número de los que no son 2 o algo así)
SUGERENCIA
$\large \binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k-1} = \binom{n}{k}$
básicamente todo lo dice es que los coeficientes en la siguiente fila del triángulo de pascal pueden generarse mediante la adición de los coeficientes de la fila actual :
Consulte la regla de Pascal
También observe que $(2n-1) - (n-1) = n$
La combinatoria explicación de $$\binom{N}{K} = \binom{N-1}{K} + \binom{N-1}{K-1}$$ puede ser obtenida por considerando $\binom{N}{K}$ como el número de diferentes subconjuntos de cardinalidad $K$ que pueden ser seleccionados a partir de un conjunto de $N$ distintos objetos. En lugar de elegir $K$ objetos de $N$, vamos a dar un enfoque ligeramente diferente. Aparte el $N$-ésimo objeto y elija $K$ objetos del resto de las $N-1$. Claramente, podemos formar $\binom{N-1}{K}$ subconjuntos de esta manera (y ninguna de ellas contienen la $N$-ésimo objeto). A continuación, elija $K-1$ objetos del resto de las $N-1$ objetos (podemos hacer esto en $\binom{N-1}{K-1}$ diferentes formas) y añadir el $N$-ésimo objeto para hacer un subconjunto de cardinalidad $K$. Todos estos subconjuntos contener la $N$-ésimo objeto.
Dar vuelta a su resultado deseado, establecer $N = 2n$ $K = n$ para obtener $$\binom{2n}{n} = \binom{2n-1}{n} + \binom{2n-1}{n-1}$$ y observar que $\binom{N}{K} = \binom{N}{N-K}$ (a cada subconjunto de cardinaity $K$ se corresponde con el complemento de un subconjunto de cardinalidad $N-K$) implica que $$\binom{2n-1}{n-1} = \binom{2n-1}{2n-1-(n-1)} = \binom{2n-1}{n}$$ y hemos terminado.
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