Convergencia de una secuencia, $a_n=\sum_1^nn/(n^2+k)$

Question

Que $ a_{n} = \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^{2}+k}$. Me gustaría saber si la secuencia dada converge.

Veo que,

$ a_{n} = \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^{2}+k}= \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+\frac{k}{n}}.$ Cuando $n$ suficientemente grande el aporte por el término de $ \frac{k}{n} $ está disminuyendo y $ a_{n} < \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} = 1 $.

Gracias.

Answer 1

$$\frac{1}{n+1}\leq \frac{1}{n+\frac{k}n} \leq \frac{1}{n}$$

Así $\frac{n}{n+1} \leq a_n \leq 1$

Así $a_n\rightarrow 1$.