$A\in M_n(\mathbb{R})$ es simétrica s.t. $A^{10}=I.$prueba $A^2=I$

Question

Que $A\in M_n(\mathbb{R})$ ser simétrico, por ejemplo eso prueba de $A^{10}=I.$$A^2=I$

Mis pensamientos:

$A$ Simétrico, $A^2$ es simétrica, por lo que existe un % ortogonal $P\in M_n(\mathbb{R})$tal que $D=P^{-1}A^2P$ es una matriz diagonal.

He intentado trabajar con eso para encontrar la matriz diagonal "justo" que después de manipulaciones de la energía, podría demostrar que $A^{10}$ es similar a $A^2$ y celebrar el resultado, pero se quedó atascado.

Cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

El polinomio mínimo de $A$ divide $x^{10}-1$.

$x^{10}-1=(x^2-1)q(x)$, donde $q(x)$ no tiene no tiene ninguna raíz real.

Los valores propios de una matriz simétrica real son reales y su polinomio mínimo es un producto de factores lineales reales.

Por lo tanto, divide el polinomio mínimo de $A$ $x^2-1$ y así $A^2=I$.

Answer 2

Han demostrado que $A$ es similar a $D=diag(\lambda_1,\ldots ,\lambda_n)$, por lo que equivale a que $A^{10}=I$ $\lambda_i^{10}=1$ % todos $i$. Puesto que el $\lambda_i$ son reales, esto es equivalente a $\lambda_i^{2}=1$ % todo $i$, que a su vez es equivalente a $A^2=I$.

Answer 3

Su método era bueno.

De hecho, $A^2$ es diagonalizable como simétrico.

$D=P^{-1}A^2P$

$ A^2= PDP^{-1} $

$ A^{10}=PD^5P^{-1}=I$

$D^5=P^{-1}IP =I$

Pero si diagonal $D$ tenemos $D^5=I$ entonces la única posibilidad $D=I$.

Y, en consecuencia, $ A^2= PIP^{-1} =I$.