Grace tira dos dados justos de seis caras y suma los resultados. Luego dibuja un cuadrado cuyo resultado es la longitud de la diagonal. ¿Cuál es la probabilidad de que el valor numérico del área de su cuadrado sea menor que el valor numérico del perímetro? La respuesta es 5/18.
Dibujé una tabla y sumé los resultados de las tiradas de dados. Pero no estoy seguro de la longitud de la diagonal. Por favor, ayúdenme. Gracias de antemano.
Si la longitud de la diagonal es $d$ la longitud del lado será $\frac{d}{\sqrt{2}}$ . Así que el área será $\frac{d^{2}}{2}$ y el perímetro será $\frac{4d}{\sqrt{2}} = 2d\sqrt{2}$ .
Para que el área sea menor que el perímetro, la condición es
$$ \frac{d^{2}}{2} < 2d\sqrt{2} $$
Que se puede reordenar
$$ d^{2} < 4d\sqrt{2} $$
$$ d^{2} - 4d\sqrt{2} < 0 $$
$$ d(d - 4\sqrt{2} ) < 0 $$
Así que $0 < d < 4\sqrt{2}$
Así que $d \le 5$ para la suma de números enteros en el par de dados.
Esto da una probabilidad de $\frac{5}{18}$ de su mesa.
Si el resultado es $x$ , entonces el área es $\displaystyle \frac{1}{2}x^2$ y el perímetro es $2\sqrt{2}x$ .
$\displaystyle \frac{1}{2}x^2<2\sqrt{2}x$ $\Longleftrightarrow $ $\displaystyle x<4\sqrt{2}$ $\Longleftrightarrow $ $x\le 5$
Los posibles resultados de los dados son $(1,1),(1.2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1)$ .
La probabilidad es $\displaystyle \frac{10}{36}=\frac{5}{18}$ .
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