Homología de Simplicial del esqueleto de un simplex

Question

Deje $n$ $k$ dos números naturales. Consideramos que el (resumen) simplicial complejo de $K$ $n$ vértices $v_1,\dots,v_n$ y de tal manera que un subconjunto de a $\{v_1,\dots,v_n\}$ es un rostro de $K$ si y sólo si tiene en la mayoría de las $k$ elementos. Por lo $K$ $(k-1)$- esqueleto de una $(n-1)$-simplex.

¿Cuál es la homología de este complejo? En varios ejemplos, puedo ver que cada grupo de homología es $0$ excepto la última (y el cero de grupo). Supongo que es bien conocido el resultado, pero no tengo idea sobre cómo demostrarlo. Directa de los cálculos en el caso general, son bastante tedioso.

Answer 1

Es sólo una cuestión de aritmética, creo. Observa que el $n$-simplex tiene $\binom{n+1}{r+1}$ $r$-simplices como caras. Así, el Euler característico del complejo simplicial de la cadena de $k$-esqueleto es $$\sum_{r = 0}^{k} (-1)^r \binom{n+1}{r+1} = 1 + (-1)^k \binom{n}{k+1}$ $ y como bien dices, la homología se concentra en grados $0$ y $k$, por lo que (suponiendo que $k \ne 0$), tenemos $$b_0 + (-1)^k b_k = 1 + (-1)^k \binom{n}{k+1}$ $ $b_r$ Dónde está el # de $r$-ésimo número de Betti, por lo tanto: $$b_k = \binom{n}{k+1}$ $