¿Cómo puedo aislar $y$ en $125=\left({\sqrt{y^2+\left(\frac{x+5}{2}\right)^2}}\right)^3+\left({\sqrt{y^2+\left (\frac{x-5}{2}\right)^2}}\right)^3$ ?

Question

Estoy tratando de encontrar un método para aislar $y$ en esta fórmula que podría utilizar para cualquier otra magnitud numérica o incluso posiciones cuando los radicales están involucrados de esta manera

$$125=\left({\sqrt{y^2+\left(\frac{x+5}{2}\right)^2}}\right)^3+\left({\sqrt{y^2+\left (\frac{x-5}{2}\right)^2}}\right)^3$$

Answer 1

No debería tratar de aislar $y$ ya que esto daría un monstruo.

Lo primero que debería hacer es sustituir $y^2=Y$ y considerar que busco el cero de la ecuación $$f(Y)=\left({\sqrt{Y+\left(\frac{x+5}{2}\right)^2}}\right)^3+\left({\sqrt{Y+\left (\frac{x-5}{2}\right)^2}}\right)^3-125$$

Esta ecuación no muestra la raíz real excepto para el rango $-5\leq x \leq 5$ y $Y(-x)=Y(x)$ . Sustitución de $x$ por un número conduce a $Y$ y $Y(x)$ es una curva suave y agradable. Así, mi idea sería

• Generar una tabla de valores para $Y(x)$ como por ejemplo $$\left( \begin{array}{cc} x & Y \\ 0.0 & 9.49901 \\ 0.5 & 9.41167 \\ 1.0 & 9.14917 \\ 1.5 & 8.71001 \\ 2.0 & 8.09152 \\ 2.5 & 7.28945 \\ 3.0 & 6.29726 \\ 3.5 & 5.10467 \\ 4.0 & 3.69431 \\ 4.5 & 2.03175 \\ 5.0 & 0. \end{array} \right)$$
• Construir un spline cúbico que, para un determinado $x$ te dará una buena estimación $Y_0$ de la solución. En caso contrario, utilice como aproximación $$ Y_0=\frac{2 \sqrt[3]{2}-1}{4} (5-x)(5+x)$$ En el peor de los casos, una búsqueda en la tabla y una interpolación lineal proporcionarían una estimación razonable de $Y$ .
• Pulir la solución mediante el método de Newton a partir de $Y_0$ (Obsérvese que $f'(Y)$ es bastante simple). El método convergería en muy pocas iteraciones.

A modo de ejemplo, consideremos $x=1.2345$ la parábola aproximada da una estimación $Y_0=9.1034$ . El método Newton genera los siguientes iterados $$Y_1=8.96564$$ $$Y_2=8.96533$$ que es la solución para seis cifras significativas.

Answer 2

Dejemos que $x = 10u$ , $y = 5v$ y $w = u^2+v^2+\frac14$ . La ecuación en cuestión puede reescribirse como $$\sqrt{v^2+\left(u+\frac12\right)^2}^3 + \sqrt{v^2+\left(u-\frac12\right)^2}^3 = 1 \iff \sqrt{w+u}^3 + \sqrt{w-u}^3 = 1$$ Dejemos que $f_{ab} = a\sqrt{w+u}^3 + b\sqrt{w-u}^3 - 1$ donde $a, b \in \{ +, - \}$ . Las ecuaciones anteriores se convierten en $$f_{++} = 0 \quad\implies\quad f_{++}f_{+-}f_{-+}f_{--} = 0$$ Cuando se expande el lado izquierdo de la última expresión, todas las raíces cuadradas se cancelan. Se obtiene

$$36u^2w^4 - 4w^3 + 24u^4w^2 - 12u^2w + 4u^6 + 1 = 0$$

Para los fijos $x$ , $u$ será constante. La ecuación anterior se convierte en una ecuación cuártica en $w$ .
Se puede utilizar la fórmula discutida aquí para expresar $w$ en los radicales. Dado que $y = \pm 5\sqrt{ w - u^2 - \frac14}$ ,
se puede expresar $y$ en los radicales también.

El problema es la fórmula de $y$ es un verdadero desastre (demasiado horrible para reproducirlo aquí).
Dudo que tenga alguna utilidad práctica.