El álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie de dimensión finita es noetheriana.

Question

Si $\mathfrak{g}$ es un álgebra de Lie de dimensión finita, entonces es muy conocido que el álgebra envolvente universal $U(\mathfrak{g})$ de $\mathfrak{g}$ es un anillo noetheriano. ¿Cuál es la forma más sencilla de demostrar este hecho?

Answer 1

Hay un buen tratamiento en este libro. En particular, el anillo graduado asociado $\operatorname{gr}U(\mathfrak g)$ se demuestra que es un conmutativo finitamente generado $k$ -generada por un máximo de $\dim_k\mathfrak g$ elementos sobre $k.$ Es un hecho básico que tales anillos son noeterianos, por lo que esto implica que $U(\mathfrak g)$ es a su vez noetheriano.