Mi pregunta es cómo interpretar sigma álgebra, especialmente en el contexto de la teoría de la probabilidad (procesos estocásticos incluido). Me gustaría saber si hay algún claro y de manera general para interpretar sigma álgebra, que puede unificar a las diversas maneras de decir que como la historia, el futuro, la recopilación de información, tamaño y probabilidad medible, etc?
Específicamente,espero saber cómo interpretar lo siguiente en cierta manera consistente:
- estar dado/condicional en un sigma álgebra
- un subconjunto de ser medible o nonmeasurable w.r.t. un sigma álgebra
- una asignación ser medible o nonmeasurable w.r.t. un sigma álgebra en el dominio y otro sigma álgebra en el codominio
- una colección de aumento de sigma álgebra de operadores, es decir, una filtración de sigma álgebra de operadores
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Siguiente es una lista de ejemplos que he conocido. Son buenos ejemplos, pero creo que sus formas de interpretación no son claros y consistentes que suficiente para mí para aplicar en la práctica. Incluso si no hay ninguna forma unificada para interpretar todos los ejemplos, me gustaría saber lo que algunas de las distintas maneras de interpretación.
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Deje $(I, \leq)$ ser un índice ordenado conjunto, y deje $(\Omega, \mathcal{F},\mathcal{F}_t, \mathbb{P})$ ser un filtrado de probabilidad en el espacio.
A continuación, una variable aleatoria $\tau : \Omega \to I$ es llamado el tiempo de parada si $\{ \tau \leq t \} \in \mathcal{F}_{t} \forall t \in I$.
Concretamente, para τ a ser un el tiempo de parada, debería ser posible para decidir si o no $\{ \tau \leq t \}$ se ha producido sobre la base de la conocimiento de $\mathcal{F}_t$, es decir, evento $\{ \tau \leq t \}$ es $\mathcal{F}_t$-medible.
Yo todavía estaba preguntando cómo exactamente a "decidir si o no $\{ \tau \leq t \}$ se ha producido en la base de los conocimientos de $\mathcal{F}_t$, es decir, el evento $\{ \tau \leq t \}$ $\mathcal{F}_t$- medible."
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Si un proceso estocástico $Y : T \times \Omega \rightarrow S$ es una martingala con respecto a una filtración $\{ \Sigma_t\}$ y la probabilidad de medir $P$, entonces para todo s y t con $s < t$ y todos los $F \in \Sigma_s$, $$Y_s = \mathbf{E}_{\mathbf{P}} ( Y_t | \Sigma_s ),$$
donde $\Sigma_s $ se interpreta como "historia".
También me pregunto cómo $\Sigma_s, s < t$ puede actuar como la historia, la $\Sigma_s, s=t$ como presente, y $\Sigma_s, s > t$ futuro?
- Originalmente interpretar un medibles subconjunto wrt un sigma álgebra como un subconjunto cuya "tamaño"/"probabilidad" es medible, y la clase de tales tamaño de subconjuntos medibles debe ser cerrado bajo complementar y contables de la unión.
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En un post por Nate Eldredge, un medibles subconjunto wrt un sigma el álgebra es interpretada por analogía de preguntas respondidas:
Si sé la respuesta a una pregunta $A$, entonces también sé la respuesta a su negación, lo que corresponde a la set $A^c$ (por ejemplo, "Es el dodo no extintos?"). Por lo que cualquier información eso es suficiente para contestar la pregunta $A$ también es suficiente para contestar la pregunta $A^c$. Por lo tanto $\mathcal{F}$ debe ser cerrado en tomar complementos. Del mismo modo, si sé la respuesta a preguntas $A,B$, también sé que el la respuesta a su disyunción $A \cup B$ ("Son el dodo o el elefante extinguido?"), por lo $\mathcal{F}$ debe también ser cerrado bajo (finito) de los sindicatos. Contables de los sindicatos requieren más de un estirar, pero imagino que preguntar a un secuencia infinita de preguntas "convergentes" en una pregunta final. ("Los elefantes viven hasta los 90? Puede viven en 99? Pueden vivir a ser 99.9?" En el final, sé que si los elefantes pueden vivir hasta los 100 años.)
Gracias de antemano por compartir sus puntos de vista, y cualquier referencia que se ha relacionado con la discusión también es apreciado!
