$(\delta,\varepsilon)$ Prueba de límite

Question

Deseo demostrar que $\lim_{x\to 2} {x+1 \over x+2} = {3 \over 4}$.

La definición de límite de $(\delta,\varepsilon)$, en este caso es:

$\forall \epsilon >0, \exists \delta >0$ tal que $0<|x-2|<\delta \Rightarrow |{x+1 \over x+2} - {3 \over 4}| < \epsilon.$

Por lo tanto, tengo que proporcionar un $\delta$, que es una función de $\epsilon$ para satisfacer la definición anterior.

Estoy teniendo un poco de dificultad para encontrar una desigualdad para continuar mi trabajo de más abajo.

$|{x+1 \over x+2} - {3 \over 4}| = {1 \over 4}|{x-2 \over x+2}|$

Answer 1

Usted necesita demostrar que $\forall \varepsilon > 0$ $\exists \delta > 0$ : $|x-2|<\delta \implies |\dfrac{x+1}{x+2}-\dfrac{3}{4}|<\varepsilon$

Has conseguido un largo camino ahora que tienen un $|\dfrac{x+1}{x+2}-\dfrac{3}{4}|=\dfrac{1}{4}|\dfrac{x-2}{x+2}|$.

Lo que desea es una expresión de la forma $C|x-2|$ ya que es fácil de recoger $\delta = \dfrac{\varepsilon}{C}$.

Esto es fácilmente alcanzable diciendo que suponemos que $\delta < 1$. Lo que ahora es el máximo valor de $\dfrac{1}{4|x+2|}$? Bien $x$ sería de entre 1 y 3 por la reescritura de $|x-2|<\delta$, por lo que la expresión podría ser igual a $\dfrac{1}{12}$. Ahora, usted tiene todas las herramientas necesarias para recoger $\delta$ cuando se da un $\varepsilon$ dejando que $\delta = \min\{1, 12\varepsilon\}$.

Answer 2

Quieres demostrar

$$\lim_{x\to 2}\frac{x+1}{x+2}=\frac{3}{4}.$$

Por la definición de límite que usted necesita para encontrar, para todos los $\epsilon>0$ $\delta$ tal que $0<|x-2|<\delta$ implica $$\left|\frac{x+1}{x+2}-\frac{3}{4}\right|<\epsilon.$$ Su mejor apuesta es trabajar de vuelta de la complicada expresión. Podemos simplificar, $$\left|\frac{4(x+1)-3(x+2)}{4(x+2)}\right|=\left|\frac{x-2}{4(x+2)}\right|=\frac{1}{4}\left|\frac{x-2}{x+2}\right|=\frac{1}{4}\frac{|x-2|}{|x+2|}<\epsilon.$$ Look what just appeared in the numerator - it's the $|x-2|$ que necesita para conseguir una manija en.

Reordenando tenemos $$|x-2|<4|x+2|\epsilon.$$

Supongamos $|x-2|<1$ (que suponemos porque queremos estar "cerca" de 2, aquí dentro de una distancia de 1), entonces $$-1<x-2<1,$$ or adding 4 to both sides, $$3<x+2<5,$$ from which we can write $|x+2|<5$.

Sustituyendo, obtenemos $$|x-2|<(4\cdot 5)\epsilon,$$ or $$|x-2|<20\epsilon.$$ So let $\delta = \min\{1,20\epsilon\}$.

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Ahora vamos a comprobar que esto funciona: Para todos los $\epsilon>0$, vamos a $|x-2|<\delta=\min\{1,20\epsilon\}$. Podemos ver de esta desigualdad que $\delta\leq 20\epsilon$ es cierto independientemente de lo que el mínimo resulta ser. Por lo tanto, tenemos $$|x-2|<20\epsilon\iff \frac{1}{4}|x-2|<5\epsilon.$$ Reescribir esto como $$\frac{1}{4}\frac{|x-2|}{|x+2|}|x+2|<5\epsilon,$$ y, a continuación, utilizando el hecho de que $$|x-2|<1\iff -1<x-2<1\iff 4<x+2<5\implies|x+2|<5,$$ entonces podemos deducir que $$\frac{1}{4}\left|\frac{x-2}{x+2}\right|<\epsilon,$$ como se requiere.

Answer 3

Utilizando lo que ha escrito:

$$|{x+1 \over x+2} - {3 \over 4}| = {1 \over 4}|{x-2 \over x+2}|$$

como ya sea arriba o abajo, $x \to 2$ $x-2\to0$, y por lo tanto es $\lt \epsilon$.

Si escribimos $2+\delta$ $x$ obtenemos: $${1 \over 4}|{2+\delta-2 \over 2+\delta+2}|={1 \over 4}|{\delta \over 4+\delta}|

Dadas $\epsilon\gt0$, necesitamos ${1 \over 4}|{\delta \over 4+\delta}|\lt\epsilon$. Suponiendo que $\delta$ es positivo (no es muy diferente el caso negativo), por lo tanto necesitamos ${\delta \over 4+\delta}\lt4\epsilon$.

Answer 4

Dar que $\varepsilon>0$. Considerar $|\dfrac{x+1}{x+2}-\dfrac{3}{4}|=|1-\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{3}{4}|=|\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{x+2}|$

Queremos encontrar un $\delta>0$ tal que cuando $|x-2|<\delta$, la anterior expresión $<\varepsilon$.

Así que empieza con $|\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{x+2}|<\varepsilon\iff|\dfrac{x-2}{4(x+2)}|<\varepsilon\iff|x-2|<4|x+2|\varepsilon$

Cuando $|x-2|<\delta$, podemos decir que $2-\delta<x<2+\delta\implies|x+2|<4+\delta<M$ $M$ Dónde está un límite superior uniforme. Así, tenemos, $|x-2|<4|x+2|\varepsilon<4M\varepsilon$ $|x-2|<4M\varepsilon$. Elegir $\delta=4M\varepsilon$. Entonces, tenemos nuestra $\delta$.

Ahora comprobar que este $\delta$.