Buenos ejemplos de Isomorfismos Cotidianos

Question

Mientras intentaba explicar el concepto de un isomorfismo a alguien que no es matemático, no me parecía suficiente simplemente dar una definición precisa, o dejarlo en una declaración vaga como "mapa que preserva la estructura, de modo que los objetos en cuestión son esencialmente iguales sin ser idénticos"; quería dar unos ejemplos que usamos todos los días sin darnos cuenta.

Se me ocurrieron los siguientes:

Conteo simple: Cada vez que contamos algo simplemente estamos estableciendo una biyección (siendo un isomorfismo de conjuntos) entre la colección de objetos que estamos contando y algún conjunto $\{1,2, ..., n\}$ para algún $n \in \Bbb{N}$. Nadie explicaría contando con los dedos a un niño como 'estableciendo una biyección entre los objetos en cuestión y una cantidad de dedos en tu mano' pero supongo que eso es lo que realmente está sucediendo.

Geometría Euclidiana plana: Un poco más matemático, pero no demasiado difícil de entender es el hecho de que dado un punto en $\Bbb{R}^2$ asociamos un par ordenado $(a,b)$ y claramente mientras estas $2$ cosas no son idénticamente lo mismo (uno es un punto geométrico, el otro es un par ordenado de números) están tan relacionados que podemos pensar en ellos como esencialmente lo mismo. En este caso no solo tenemos un isomorfismo de conjuntos ya que podemos pensar en sumar dos vectores y mostrar que la adición corresponde a sumar los pares ordenados de la manera usual.

Me preguntaba si alguien tenía otros buenos ejemplos de esto; ¿específicamente para ilustrar a una persona no matemática? (También me doy cuenta de que la etiqueta de teoría de categorías es un poco forzada, pero no estaba muy seguro de dónde poner esto)

Answer 1

Un isomorfismo aritmético simple: en muchos videojuegos (antiguos), los puntos se otorgan en múltiplos de $1000$ (por ejemplo) para crear una sensación de emoción. Podríamos escalar los puntos por un factor de $1000$ y preservar la estructura esencial del sistema de puntos: por ejemplo, si terminas el juego y obtienes la puntuación más alta, seguirías obteniendo la puntuación más alta en la versión escalada. Específicamente, la puntuación final escalada es la suma de los puntos escalados durante el juego.

En geometría plana, considera que los diagramas y las demostraciones en un trozo de papel no cambian cuando giras ese papel a través de cualquier ángulo en el espacio tridimensional o lo llevas alrededor de la habitación.

Hay situaciones estratégicas a las que nos referimos como piedra/papel/tijeras porque se pueden simular eficazmente con ese juego, la única diferencia son las etiquetas de las estrategias.

La escala de Richter es un ejemplo del isomorfismo entre los reales bajo la suma y los reales positivos bajo la multiplicación.

Answer 2

Pídeles que jueguen un juego contigo. Se turnarán para dar un número entre $1$ y $9$. Nadie puede decir un número que el otro jugador haya dicho antes. En cualquier momento, si uno de ustedes dice tres números que sumen $15$, entonces ganan. De lo contrario, si pasamos por los $9$ números sin que nadie gane, entonces el juego termina en empate.

Secretamente, dibuja el siguiente cuadrado mágico en un trozo de papel:

A medida que se turnen, dibuja un $\mathsf X$ o un $\mathsf O$ en los cuadros correspondientes. Dado que tres números suman $15$ si y solo si están en línea en la cuadrícula de arriba (puedes comprobarlo tú mismo), un jugador gana el juego si y solo si consiguen tres seguidos de su símbolo.

En otras palabras, ¡este juego es isomorfo a las tres en raya*!

*juego del gato para los estadounidenses

(Se da un ejemplo adicional en http://www.j-paine.org/students/lectures/lect6/node12.html usando palabras.)

Intuitivamente, esto es un isomorfismo porque los juegos se pueden jugar 'de la misma manera'. Pero también es rigurosamente un isomorfismo en diversas categorías de juegos y estrategias. Por ejemplo, nos da un isomorfismo entre los árboles de juego en la categoría de conjuntos parcialmente ordenados. Un enfoque más sofisticado es que obtenemos un isomorfismo en la categoría de juegos de Joyal: hablando coloquialmente, si juego ambos juegos contra ti pero te dejo empezar en un juego e insisto en empezar yo mismo en el otro, entonces puedo asegurarme, copiando tus movimientos contra ti, que nunca pierda ambos juegos.

Answer 3

Esto podría ser ligeramente más sofisticado de lo que estás buscando, pero imaginaría que podrías convencer a cualquiera que tenga vagamente presente su álgebra de la secundaria de un isomorfismo (espacio vectorial) entre la colección de polinomios cuadráticos y el espacio tridimensional.

También podrías sugerir algunos homeomorfismos: el toro con la taza de café es bastante famoso, pero ejemplos más simples como el cubo a la esfera también son agradables.

Una tercera categoría para explorar podrían ser los posets. Por ejemplo, una pequeña empresa con un gerente y dos empleados es anti-isomorfa a una familia con dos padres y su único hijo. En conjuntos preordenados, la colección de épocas del año es isomorfa a la colección de ángulos alrededor de una mesa (o un círculo más abstracto).

Answer 4

Sugerencias:

• n funcionarios públicos deben ser asignados a n puestos de trabajo
• 10 niños eligen un lápiz cada uno de una caja de colores
• la semana que viene en algún hospital, cada uno de los 7 cirujanos estará de guardia una noche.
• Estás entrenando al equipo de fútbol y tienes que asignar una posición a cada uno de los 11 jugadores.