La sobrecarga que aumenta las dimensiones

Question

Esta pregunta se inspira en cierto modo en una pregunta en MathOverflow pero no es necesario leer esa pregunta para entender lo que voy a preguntar.

Es bien sabido que se puede establecer una suryección entre conjuntos de diferentes dimensiones de Hausdorff: en el régimen de la teoría de conjuntos justa la cardinalidad del intervalo unitario y del cuadrado unitario son iguales, y de hecho obtenemos una biyección. Si se añade un poco de topología, se puede además pedir que esta suryección venga dada por una continua mapa pero el mapa no puede ser una biyección, sino sería un homeomorfismo.

¿Y si, en lugar de la continuidad, exigimos una condición diferente?

Pregunta Fijar $N$ un número entero positivo. Sea $B$ sea la bola unitaria abierta en $\mathbb{R}^N$ . ¿Podemos encontrar un liso incrustado (o $C^1$ ) hipersuperficie $A\subset \mathbb{R}^N$ y un suryecto $\phi:A\to B$ tal que el vector $a - \phi(a)$ es ortogonal a $A$ ? ¿Puede hacerse de forma continua? ¿Puede convertirse en una biyección?

Answer 1

Si $A$ es una hipersuperficie (de co-dimensión uno y suave) lo que estás describiendo es la gráfica de una función en $A$ -- bueno, localmente eso es lo que es. Pero el problema se reduce a un problema local. Estás pidiendo funciones $f : D^{n-1} \to \mathbb R$ cuyo gráfico es un subconjunto abierto de $\mathbb R^n$ . Esto no es posible, incluso si $f$ es discontinua.