Pregunta sobre la expansión térmica de una tira bimetálica

Question

Estaba leyendo acerca de las tiras bimetálicas y me di cuenta de que al calentarlas se forma una forma de arco. También leí una frase que decía que el radio de tal arco también puede ser calculado, lo cual se enseñará en los próximos grados. Así que sólo quería saber si hay alguna fórmula directa para encontrar el radio de curvatura.
Además, creo que puede ser descubierto usando $A=l/r$ donde $A$ es el ángulo subtendido. Pero entonces de nuevo, ¿cómo se puede encontrar el ángulo? Entonces, ¿cuál es la fórmula para el radio?

Answer 1

El ángulo subtendido viene dado por la longitud del arco dividida por el radio:

$$\phi = \frac{L_2}{R+t/2}=\frac{L_1}{R-t/2}$$

donde $L_2$ es la longitud de la franja más larga (a $R+t/2$ ) y $L_1$ la longitud de la franja más corta (a $R-t/2$ ), $t$ es el grosor de las tiras. $R$ es el radio hasta la mitad de las tiras. Las suposiciones aquí son básicamente pequeñas flexiones y tiras finas: $R\gg L_{1,2}\gg t$

Resolviendo esta ecuación para $R$ da: $$R=\frac{t(L_1+L_2)}{2(L_2-L_1)}$$

El cambio de longitud está relacionado con los coeficientes de dilatación térmica $\alpha_{1,2}$ y el cambio de temperatura $\Delta T$ de los materiales:

$$L_{1,2}=L(1+\alpha_{1,2}\Delta T)$$

Introduciendo esto en la ecuación del radio se obtiene: $$R=\frac{t}{\Delta\alpha\Delta T}$$

donde $\Delta\alpha = \alpha_2-\alpha_1$ y un pequeño término $\propto \Delta T$ se ha despreciado, asumiendo básicamente que el cambio de longitud debido a la temperatura es pequeño: $\Delta L \ll L$

Answer 2

La flexión en forma de arco se produce porque los dos metales expandirse de forma diferente cuando se calienta. Tienen diferentes coeficientes de expansión térmica $\alpha$ . El doblado permite que la tira metálica exterior se expanda más que la interior, de modo que puedan expandirse de forma diferente mientras permanecen pegadas.

La fórmula para el radio de la curvatura es :

$$R=\frac t{\Delta \alpha \Delta T}$$

donde $t$ es el grosor de la tira (el grosor de cada tira si tienen el mismo grosor), $\Delta \alpha$ es la diferencia de los coeficientes de dilatación térmica, y $\Delta T$ es el aumento de temperatura (el aumento desde la temperatura original a la que se unieron las tiras de metal).

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¿De dónde viene esta fórmula?

Las tiras de metal se expanden linealmente cuando se calientan. El alargamiento por Kelvin se llama $\alpha$ por lo que el alargamiento real es $\alpha \Delta T$ (cuántas veces más larga es la tira cuando la temperatura aumenta $\Delta T$ ).

Hace falta fuerza $F$ para expandir dicha banda metálica. Tiene cierta elasticidad $E$ (módulo de Young), que resiste el alargamiento. $E$ es la cantidad de Newton de fuerza que la banda metálica retiene por área, por lo que la fuerza real de contrapeso es $EA$ que aumenta con el alargamiento (al tirar de la tira hasta el doble de la longitud, la mitad de la elasticidad está "ya utilizada" haciendo que la tira sea el doble de rígida) por lo que las multiplicamos:

$$F=\alpha \Delta T EA\quad\Leftrightarrow \quad\sigma A=\alpha \Delta T EA\quad\Leftrightarrow \quad\sigma =\alpha \Delta T E$$

Esta fuerza interna corresponde a una tensión interna $\sigma$ que es la fuerza por área $\sigma=F/A$ . Queremos expresarlo con $\sigma$ porque esta tira de metal doblada puede ser vista como una viga de flexión para el que existen muchas expresiones de flexión bien conocidas, que suelen implicar $\sigma$ . La expresión de flexión relevante para esta sencilla situación es:

$$\frac{\sigma}{y}=\frac{E}{R}\quad\Leftrightarrow\quad \sigma=y\frac{E}{R}$$

donde $\sigma$ es la tensión y $y$ la profundidad hasta la línea neutra (la mitad del espesor) cuando la viga se dobla con un radio de curvatura de $R$ . Ahora bien, aquí estamos haciendo la suposición de que las tiras de metal juntas actúan como una viga uniforme. Esto no es exactamente así, y habrá algunas fuerzas no uniformes en la interfaz entre ellas. Pero despreciar eso simplifica mucho y nuestra expresión final sigue siendo aproximadamente válida. También, $E$ es diferente para los materiales, por lo que el $E$ aquí hay una media (que por suerte se anula en el siguiente paso). Lo introducimos en nuestra expresión:

$$y\frac{E}{R}=\alpha \Delta T E\\ R=\frac y{\alpha \Delta T}$$

Ya casi hemos llegado. El $\alpha$ aquí es para toda la franja, sin embargo, por lo que es de hecho sólo el promedio de la $\alpha$ para cada franja: $\alpha=\Delta \alpha/2$ . Esto añade un factor no deseado $2$ a la expresión - pero al mismo tiempo, $y$ es el grosor hasta el centro que es la mitad del grosor total $y=t/2$ . Los dos factores de $2$ se cancelan, y tenemos nuestra expresión:

$$R=\frac{t/2}{\Delta \alpha/2\; \Delta T}=\frac{t}{\Delta \alpha \Delta T}$$

Hay otras formas de derivar esto, y parece que este vídeo de Youtube utiliza un método más geométrico, si no está familiarizado con las vigas de flexión.