Es una serie convergente?

Question

$$ \sum_{n=1}^{\infty } (-1)^{\frac{n(n+1)}{2}} \cdot \frac{1}{n}$$ Es convergente? Por supuesto que no es absolutamente convergente, pero no estoy seguro acerca de la convergencia condicional. Leibnitz parece que no trabajan aquí.

Answer 1

\begin{align} \dfrac {n(n+1)}2&=\\ &n=4m+1&\rightarrow (4m+1)(2m+1)= odd\\ &n=4m+2&\rightarrow (2m+1)(4m+3)= odd\\ &n=4m+3&\rightarrow (4m+3)(2m+2)= even\\ &n=4m+0&\rightarrow 2m(4m+1)= even\\ \end{align}

\begin{align} \therefore -\sum_{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{\frac{n(n+1)}{2}}}{n}&=\sum_{m=0}^{\infty} \left(\frac1{4m+1}-\frac1{4m+3}+\frac1{4m+2}-\frac1{4m+4}\right)\\ &=\sum_{m=0}^{\infty} \left(\frac{2}{(4m+1)(4m+3)}+\frac{2}{(4m+2)(4m+4)}\right)\\ &<\frac23+\frac14+\sum_{m=1}^{\infty} \left(\frac{2}{(4m)(4m)}+\frac{2}{(4m)(4m)}\right) \\ &=\frac{11}{12}+\frac14\sum_{m=1}^{\infty}\frac1{m^2}=\frac{11}{12}+\frac14\cdot\frac{\pi^2}6\\ \end{align}

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El Dr. MV también mencionó que, esta serie puede ser expresada en una forma cerrada como $\frac{\pi}4+\frac12\cdot\log 2$.

Entonces se me ocurrió que podríamos hacer de esta manera también (a pesar de su división en dos de la serie puede ser discutible):

$$\left(\frac11-\frac13+\frac15-\frac17+\frac19\cdots\right)+\left(\frac12-\frac14+\frac16-\frac18+\frac1{10}\cdots\right)$$ $$=\frac{\pi}4+\frac12\left(\frac11-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15\cdots\right)=\frac{\pi}4+\frac12\cdot\log 2$$

Answer 2

Pensé que podría ser interesante ver que la serie puede ser evaluado en forma cerrada. El desarrollo se facilita el uso de la serie de la representación de la Función Digamma

$$\psi(x)=-\gamma+\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+x}\right)$$

donde $\gamma=\lim_{N\to \infty}\left(\sum_{n=1}^N\frac1n -log(n)\right)$ es el de Euler-Maschereoni Constante

También haremos uso de Gauss, Digamma Teorema para determinar los valores de $\psi\left(\frac{\ell}{4}\right)$$\ell =1,2,3$.

Ahora, comenzando con la expresión desarrollada por @KayK. tenemos

$$\begin{align} -\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n(n+1)/2}}{n}&=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{4n+1}+\frac{1}{4n+2}-\frac{1}{4n+3}-\frac{1}{4n+4}\right)\\\\ &=\frac14\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{n+1/4}-\frac{1}{n+1}\right)\\\\ &+\frac14\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{n+1/2}-\frac{1}{n+1}\right)\\\\ &-\frac14\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{n+3/4}-\frac{1}{n+1}\right)\\\\ &=\frac14\left(-\psi(1/4)-\psi(1/2)+\psi(3/4)+\psi(1)\right)\\\\ &=\frac14\left(\frac{\pi}{2}+3\log(2)+\gamma\right)\\\\ &+\frac14\left(2\log(2)+\gamma\right)\\\\ &+\frac14\left(\frac{\pi}{2}-3\log(2)-\gamma\right)\\\\ &+\frac14(-\gamma)\\\\ &=\frac{\pi}{4}+\frac12 \log(2) \end{align}$$