Min Max Principio y de Rayleigh-Ritz-Método de los autovalores de operadores no acotados?

Question

Encontrar los autovalores de matrices utilizando la de Rayleigh-Ritz cociente es bien conocido, c.f. http://en.wikipedia.org/wiki/Min-max_theorem

¿La siguiente generalización de ese hecho?

Teorema: Vamos a $H$ ser un espacio de Hilbert complejo, $T:D \to H$ ser una desenfrenada operador definido en un dominio denso $D \subset H$. Suponga que $T$ es auto-adjunto y ha discreta del espectro de contenidos en un intervalo $[c,\infty[$, $c > 0$. Enumerar los autovalores por $\lambda_1 \leq \lambda_2 \leq \ldots$ contando con multiplicidades. A continuación, para cada una de las $k \in \mathbb{N}$ $$ \lambda_k = \min_{\substack{U \subset D, \\ \dim U=k }}{\max_{\substack{x \in U, \\\|x\|=1}}{\langle Tx, x \rangle}} $$

Si esto es cierto, puede dar una buena referencia para este?

Answer 1

Sé que este post es tal vez dos años de retraso, pero tengo una referencia para que usted pueda comprobar. De hecho, hay una correspondiente teorema de auto-adjunto operadores en espacios de Hilbert, pero las condiciones se alteran ligeramente ya que los operadores tengan más de un tipo de espectro. Un operador del espectro puede ser dividido en su espectro discreto (autovalores) y sus esenciales del espectro, que se define en términos de la proyección de valores de las medidas de un operador (mediante el cálculo funcional para la auto-adjunto operadores que se pueden definir $\chi_B(A)$ donde $A$ es auto-adjunto, $\chi_B$ es la característica de la función en $B$, e $B$ es cualquier Borel medible conjunto. Lo esencial espectro de $\sigma_{ess}(H)$ los $\lambda \in \mathbb{C}$ tal que $\chi_{(\lambda - \epsilon, \lambda+\epsilon)}(A)$ tiene de dimensiones infinitas para todos los $\epsilon>0$). De todos modos la siguiente declaración del teorema es tomado de Reed y Simon, el Libro de los Operadores.

Deje $H$ ser un auto-adjunto del operador acotado abajo (sentido $H \geq cI$ algunos $c$). Definir $$U_H(\varphi_1, \ldots, \varphi_m) \;\; =\;\; \inf_{\begin{subarray}{c} \psi\in D(H), \; ||\psi||=1 \\ \psi \in [ \varphi_1, \ldots, \varphi_m]^\perp \end{subarray} } \langle \psi, H\psi \rangle $$ and $$\mu_n(H) \;\; =\;\; \sup_{\varphi_1, \ldots, \varphi_{n-1}} U_H(\varphi_1, \ldots, \varphi_{n-1}) $$ where $[\varphi_1, \ldots, \varphi_{m-1}]^\asesino = \{\psi \; : \; \langle \psi \varphi_i\rangle =0, \; i= 1\ldots, m-1\}$ where the $\varphi_i$ are not necessarily independent. Then for each fixed $n$ ocurra uno de los siguientes:

1. Hay $n$ autovalores (contando autovalores degenerados un número de veces igual a su multiplicidad) debajo de la parte inferior de la esencial espectro, y $\mu_n(H)$ $n$th autovalor contando multiplicidad.

2. $\mu_n = \inf \sigma_{ess}(H)$ y que en caso de $\mu_n = \mu_{n+1} = \mu_{n+2} = \ldots$ y existen en la mayoría de las $n-1$ autovalores (contando multiplicidades) por debajo de $\mu_n$.