¿Cómo funciona el supremum de las cardinalidades de un conjunto de ordinales se relacionan con el supremum de los ordinales?

Question

Supongamos que tenemos un conjunto de ordinales tales que su supremum es un cardenal (no en la serie original).

$\sup\{\alpha\}=\kappa$

Estoy interesado en el supremum de las cardinalidades de los ordinales: $\sup\{|\alpha|\}$. He visto muchas pruebas que parecen asumir que $\sup\{|\alpha|\}=\kappa$ también. Puedo ver cómo esto podría ser el caso si el conjunto de $\{\alpha\}$ contenía un subconjunto infinito de cardenales cuyo supremum también fue $\kappa$, pero no puedo pensar en un simple contraejemplo que parece indicar que no es siempre el caso.

Tomar nuestro conjunto a se $\{\alpha\mid\omega\le\alpha\lt\omega_1\}$. El supremum de este conjunto es claramente $\omega_1$ (con cardinalidad $\aleph_1$ si usted lo prefiere). Pero cada ordinal $\alpha$ es countably infinito, por lo $\forall\alpha,|\alpha|=\omega$ (o $\aleph_0$ si usted insistir). Pero, a continuación, $$\sup\{|\alpha|\}=\sup\{\omega\}=\omega\ne\omega_1=\sup\{\alpha\}.$$

Lo que me estoy perdiendo?

Motivación: estoy tratando de mostrar que si $\kappa$ es un infinito cardenal, estas definiciones de cofinality son equivalentes:

$$cof(\kappa)=\inf\{\beta\mid\{\alpha_\xi\}_{\xi\lt\beta}\text{ is cofinal in }\kappa\}\equiv\inf\{\delta\mid\sum_{\xi<\delta}\kappa_\xi=\kappa\}.$$

Para establecer la RHS, (después de la toma de $\{\kappa_\xi\}=\{|\alpha_\xi|\}$) es fácil demostrar que la suma está acotada arriba por $\kappa$. Para demostrar que también es acotado abajo por $\kappa$, un ejemplo de prueba de que he encontrado afirma que desde cada $$\kappa_\xi\le\sum_{\xi<\delta}\kappa_\xi$$ then the summation, as an upper bound of all of the $\kappa_\xi$'s, must be larger than the smallest upper bound (supremum) of the $\kappa_\xi$'s, so $$\kappa\le\sup\{\alpha_\xi\}=\sup\{|\alpha_\xi|\}=\sup\{\kappa_\xi\}\le\sum_{\xi<\delta}\kappa_\xi$$ pero yo no estoy tan seguro de la primera igualdad. Cualquier consejo se agradece.

Answer 1

La primera vez que voy hacer un comentario acerca de la preocupación en el título de la pregunta, y parece romperse en sucesor y limitar los casos.

• Si $\kappa = \lambda^+$ es un sucesor, el cardenal, a continuación, $| \alpha | \leq \lambda$ para todos los ordinales $\alpha < \kappa$, y fácilmente se deduce que $\sup \{ | \alpha | : \alpha < \kappa \} = \lambda$. (Esto es lo que se dio cuenta de $\kappa = \aleph_1 = \aleph_0^+$.)
• Si $\kappa$ es un límite cardenal, a continuación, $\mu^+ < \kappa$ por cada $\mu < \kappa$. A partir de aquí fácilmente se deduce que $\sup \{ | \alpha | : \alpha < \kappa \} = \kappa$.

La anterior dicotomía también se mantiene siempre $\{ \alpha_\xi \}_{\xi < \nu}$ es arbitrario de la familia de los números ordinales cofinal en $\kappa$.

Por supuesto, es relativamente fácil demostrar que el sucesor cardenales son regulares: Si $\delta < \kappa = \lambda^+$ $\{ \alpha_\xi \}_{\xi < \delta}$ es un (aumento) de la secuencia de los números ordinales $< \kappa$, luego deje $\beta = \sup_{\xi < \delta} \alpha_\xi = \bigcup_{\xi < \delta} \alpha_\xi$. Tenga en cuenta que $$| \beta | = \left| \bigcup_{\xi < \delta} \alpha_\xi \right| \leq \sum_{\xi < \delta} | \alpha_\xi | \leq \sum_{\xi < \delta} \lambda = | \delta | \cdot \lambda = \lambda < \kappa.$$ Thus $\{ \alpha_\xi \}_{\xi < \delta}$ is not cofinal in $\kappa$. Note that this also contains the idea for proving the summation characterisation of cofinality in this case: if $\{ \kappa_\xi \}_{\xi < \delta}$ is a family of cardinals $< \kappa = \lambda^+$, then $\sum_{\xi < \delta} \kappa_\xi \leq \sum_{\xi < \delta} \lambda = | \delta | \cdot \lambda = \max \{ |\delta| , \lambda \}$, so if this sum equals $\kappa = \lambda^+$, it must be that $| \delta | = \kappa$.)

Por un límite cardenal $\kappa$, dejando $\mu = \mathrm{cof} ( \kappa )$, ten en cuenta que hay una (cada vez mayor) de la secuencia de $\{ \kappa_\xi \}_{\xi < \mu}$ de cardenales $< \kappa$ que es cofinal en $\kappa$. Es relativamente fácil demostrar que $\sum_{\xi < \mu} \kappa_\xi = \kappa$.

• Claramente $\kappa_\eta \leq \sum_{\xi < \mu} \kappa_\xi$ todos los $\eta < \mu$, y por lo tanto $\kappa \leq \sum_{\xi < \mu} \kappa_\xi$.
• Dado $\delta < \mu$ tenga en cuenta que $\kappa_\xi < \kappa_\delta$ todos los $\xi < \delta$$\sum_{\xi < \delta} \kappa_\xi \leq \sum_{\xi < \delta} \kappa_\delta = | \delta | \cdot \kappa_\delta = \max \{ | \delta | , \kappa_\delta \}$. Como $\kappa_\delta < \kappa$, e $| \delta | < \kappa$, se deduce que el $\sum_{\xi < \delta} \kappa_\xi < \kappa$. Por lo tanto, $\sum_{\xi < \mu} \kappa_\xi \leq \kappa$.

Pero supongamos $\delta < \mu$ $\{ \kappa_\xi \}_{\xi < \delta}$ es cualquier secuencia de cardenales $< \kappa$. A continuación, $\{ \kappa_\xi \}_{\xi < \delta}$ no es cofinal en $\kappa$, y así hay un cardenal $\nu < \kappa$ tal que $\kappa_\xi \leq \nu$ todos los $\xi < \delta$. A continuación, $$\sum_{\xi < \delta} \kappa_\xi \leq \sum_{\xi < \delta} \nu = | \delta | \cdot \nu = \max \{ | \delta | , \nu \}.$$ Como $\nu , | \delta | < \kappa$,$\sum_{\xi < \delta} \kappa_\xi < \kappa$.

Answer 2

Bien, como señaló el supremum de las cardinalidades nunca es más grande que el supremum de los números ordinales.

Para tener una mejor comprensión de esta equivalencia sugiero dividir en dos casos:

1. Si $\kappa$ es regular, a continuación, al menos $\beta$ $\kappa$ sí, y ya tenemos: $$\inf\left\{\beta\mid\exists \{\alpha_\xi\}_{\xi<\beta}\text{ cofinal in }\kappa\right\}=\kappa\geq\inf\left\{\delta\mid\exists\{\kappa_\xi\}_{\xi<\delta}: \sum_{\xi<\delta}\kappa_\xi=\kappa\right\}$$ Tenga en cuenta que $\kappa\geq\inf$ debido a que siempre se puede escribir $\kappa$ como la suma de $\kappa$ los embarazos únicos, por lo que trivialmente tenemos el de arriba.

   Por otro lado, si $\{\kappa_\xi\}_{\xi<\delta}$ es una secuencia de cardenales de orden mínimo, a continuación, escriba los números ordinales $\alpha_\xi=\left(\sum_{\zeta<\xi}\kappa_\zeta\right)+\kappa_\xi$ (esta suma es un ordinal suma!) formar un cofinal secuencia en la $\kappa$, y por lo tanto la igualdad de la siguiente manera.

2. Si $\kappa$ es singular, entonces sabemos que puede ser escrito como un límite de cardenales, entonces realmente tenemos $\sup\{\alpha_\xi\mid\xi<\delta\}=\sup\{|\alpha_\xi|\mid\xi<\delta\}$ como quería.

   Por lo tanto, es suficiente para mostrar que hay un mínimo de cofinal de la secuencia de hechos de los cardenales, pero esto es simple.