Es posible respecto de los límites en el análisis (es decir, de secuencias o, más generalmente, las redes en espacios topológicos) como límites en la categoría de teoría? ¿Hay alguna relación formal?
Editar ('13): Quizás es más interesante preguntarse si los límites de la categoría de la teoría puede ser visto como límites especiales de ultrafilters o redes.
Me han preguntado esta pregunta en las matemáticas.stackexchange el año pasado, y obtuvo respuesta satisfactoria. (Por lo que esta construcción no vienen de mí.)
Deje $(X,\mathcal O)$ ser un espacio topológico, $\mathcal F(X)$ parcialmente conjunto ordenado de los filtros en la $X$ con respecto a las inclusiones, se considera como una categoría pequeña en la forma habitual. Dado $x\in X$ $F\in\mathcal F(X)$ deje $\mathcal U_X(x)$ denotar el barrio de filtro de $x$ $(X,\mathcal O)$ $\mathcal F_{x,F}(X)$ el total de la subcategoría de $\mathcal F(X)$ generado por $\{G\in\mathcal F(X):F\cup\mathcal U_X(x)\subseteq G\}$, vamos a $E:\mathcal F_{x,F}\hookrightarrow\mathcal F(X)$ ser obvio (incrustación) diagrama, $\Delta$ el habitual diagonal functor y $\lambda:\Delta(F)\rightarrow E$ la transformación natural donde $\lambda(G):F\hookrightarrow G$ es la inclusión de cada una de las $G\in\mathcal F_{x,F}$. No es difícil ver que $F$ tiende a $x$ $(X,\mathcal O)$ fib $\lambda$ es un límite de $E$.
En casos muy especiales, las nociones coinciden. Deje $R$ ser la categoría (poset) cuyos objetos son los números reales y en que $Hom(x, y)$ tiene un solo elemento si $x \leq y$ y está vacía de otra manera. Luego de un nonincreasing secuencia de los números reales, su límite en el sentido clásico (si no $-\infty$) es también su límite en la categoría de sentido (si es que existe).
Siempre he justificado esta a mi mismo pensando:
Pero para hacer la primera en una instancia de la segunda, se necesitaría una categoría que representa un espacio topológico, donde los puntos son objetos. Y yo no puedo pensar en nadie ahora mismo.
Estoy de acuerdo con Tom Leinster la respuesta a la pregunta anterior.
A esto me gustaría añadir que creo que el uso general de "límite" en la categoría de teoría, es decir, incluyendo binario productos y pullbacks, se debe a Pedro Freyd (en su tesis), mientras que anteriormente "proyectiva" "inductivo límites" había sido indexado por N u ordinales. Esta extensión del uso es otro ejemplo de la sobre-estiramiento de la lengua que Tom mencionó.
Por otro lado, también estoy totalmente de acuerdo con Martin en que la respuesta a esto es unsatifactory, pero esto no quiere decir que yo creo que cualquier respuesta satisfactoria puede ser determinado por referencia a una sola (artificial) ejemplo.
Este es el tipo de pregunta que aquellos (como me) que estén interesados en la categoría de la teoría y el análisis debe volver a partir de tiempo al tiempo y a reconsiderar.
Creo que esto no acaba de funcionar:
Deje $\mathcal{C}$ ser la categoría cuyos objetos son el punto de $X$, y definir $$ \mathrm{mor}_\mathcal{C}(x,y) = \{ \mbox{conjuntos cerrados que contienen tanto $x$$y$} \}. $$ La composición es la unión.
Ahora (por ejemplo) una secuencia $\{ x_n\}$ $X$ define un functor $F: \mathbb{N} \to \mathcal{C}$ y un cono de $F$ $y$es esencialmente un conjunto cerrado contiene toda la secuencia y $y$. Desde este conjunto debe contener el límite topológico $x$ de la secuencia, esto significa que el cono de factores a través del mismo conjunto cerrado vista como una de morfismos $x\to y$, lo $x$ es de la categoría de los colimit de $F$.
Y desde el morfismos conjuntos son simétricos, la secuencia de $\{ x_n\}$ puede ser visto como un functor contravariante $G: \mathbb{N}\to \mathcal{C}$, y el límite topológico $x$ es de la categoría de límite de $G$.
PROBLEMA: el de la factorización no es única!
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