Hola soy de partida para el estudio de la geometría algebraica en mi propio con un libro y he estado pensando en este problema un par de días. Agradecería si alguien me pudiera ayudar.
Deje $V$ ser una variedad afín. Podemos definir la diagonal mapa $$\Delta:V\rightarrow \Delta (V)\subset V \times V $$ $$ v\longmapsto(v,v)$$ (a) Probar que $\Delta$ es una de morfismos.
(b) Deje $V=\mathbb{A}^n(k)$ y fija las coordenadas de $x_1,...,x_n,y_1,...,y_n$ es $\mathbb{A}^n(k)\times \mathbb{A}^n(k)$. Mostrar que $I(\Delta _V)= \langle x_1-y_1,...,x_n-y_n \rangle$.
(c) Para general afín variedad $V$, demuestran que, a $\Delta _V$ es cerrado en $V \times V$.
(d) Muestran que $\Delta:V \rightarrow \Delta _V$ es un isomorfismo.
Mi prestar atención:
(a) me ha demostrado que la declaración y estoy seguro de que es correcta.
(b) no puedo demostrar que, he intentado muchas cosas pero no veo la solución.
(c) no sé si esta solución es correcta.
Un espacio topológico $V$ es Hausdorff iff la diagonal set $\Delta _V$ es cerrado. Así que si $V$ es una variedad afín, y $x,y \in V, x \neq y$. Si considero que el lineal polinomial $f $, de modo que $f(x)=0$, y el paralelo lineal polinomial $g$ que anihilates $y$ (Es posible desde $x \neq y$), $U,W$ (subconjunto de puntos de $V$ tal que anihilates f o g, respct.) son disjuntas neigbourhoods de $x,y $ y, por lo tanto, $V$ es de Hausdorff.
(d) he pensó acerca del uso de las proyecciones de $\pi_1,\pi_2: V \times V \rightarrow V$, pero no consigo la solución.
Gracias de antemano
