Demostrar que para cualquier número natural $n>1$, $(2n)!<(n(n+1))^n$

Question

Demostrar que para cualquier número natural $n>1$, $(2n)!<(n(n+1))^n$

He intentado utilizar la inducción, pero fallé en ese enfoque, a mí más bien me pareció que no era verdad, pero en varios de los casos de prueba, he encontrado que es cierto. Yo soy de las ideas aquí, por favor ayuda. Gracias.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$(n+ 1 + a)(n-a) = n(n+1) + an - a(n+1) - a^2 \le n(n+1)$$ para $a=0, 1, \dots , n-1$ y la desigualdad es estricta para $a\neq 0$. Ahora, reagrupar $(2n)!$ y se realizan de forma rápida.

Answer 2

Usando la Desigualdad de Bernoulli, $$ \begin{align} \left(\frac n{n+x}\frac{n+x+1}{n+1}\right)^{n+1} &=\left(1-\frac x{(n+1)(n+x)}\right)^{n+1}\\ &\ge1-\frac x{n+x}\\ &=\frac n{n+x}\tag{1} \end{align} $$ Multiplicando ambos lados de $(1)$ $\left(1+\frac xn\right)^{n+1}$ rendimientos $$ \left(1+\frac x{n+1}\right)^{n+1}\ge\left(1+\frac xn\right)^n\etiqueta{2} $$ Para $n\ge3$, $(2)$ implica $$ \begin{align} \frac{(n(n+1))^n}{((n-1)n)^{n-1}} &=n(n+1)\left(\frac{n+1}{n-1}\right)^{n-1}\\ &=n(n+1)\left(1+\frac2{n-1}\right)^{n-1}\\[4pt] &\ge 4n(n+1)\\[12pt] &\gt2n(2n-1)\\[4pt] &=\frac{(2n)!}{(2n-2)!}\tag{3} \end{align} $$ Dado que la desigualdad se cumple para $n=2$, la inducción con $(3)$ da que $$ (2n)!<(n(n+1))^n\etiqueta{4} $$ Además, $(3)$ muestra que la proporción de los lados aumenta por encima de $1+\frac3{2n}$, y desde $\prod\limits_{n=1}^\infty\left(1+\frac3{2n}\right)$ diverge, la proporción de los lados en $(4)$ debe crecer sin límite.