Pregunta sobre la dualidad SL(2,Z) de la teoría de cuerdas/N=4 SYM

Question

$\mathcal N=4$ SYM tiene un $\mathrm{SL}(2,\mathbb Z)$ grupo de dualidad. Esto puede pensarse de dos maneras: 1. Esta teoría se puede obtener compactando la 6D $\mathcal N=(2,0)$ en un toro, y este grupo proviene del grupo de grandes difeomorfismos del toro.

1. La teoría también puede obtenerse como la teoría de baja energía de las branas D3 en la teoría de cuerdas de tipo IIB. Esta teoría tiene un $\mathrm{SL} (2,\mathbb Z)$ dualidad intercambiando, por ejemplo, las cuerdas y las branas D1, pero preservando las branas D3, y así esto desciende a una acción en su teoría de baja energía.

Si ambas formas de pensar son válidas, estoy confundido sobre qué es exactamente esto $\mathrm{SL}(2,\mathbb Z)$ simetría del tipo IIB es. Parece estar relacionada con los torii, pero ¿no está presente aunque no haya torii alrededor? ¿Cómo se relacionan ambas descripciones?

Answer 1

¡Hay toros ocultos en la teoría de cuerdas de tipo IIB! Se puede describir la teoría de cuerdas de tipo IIB como una teoría formalmente de 12 dimensiones llamada teoría F (debida a Cumrun Vafa) cuyas 2 dimensiones deben compactarse inmediatamente en un dos-toro o, utilizando la jerga de la geometría algebraica de la teoría F, una curva elíptica. De hecho, lo importante de la teoría F es que permite la $\tau$ parámetro que etiqueta la estructura compleja del toro para sufrir monodromías SL(2,Z) cuando se rodean objetos de dimensión real dos, las 7-branas en la teoría de cuerdas de tipo IIB. Esta monodromía corresponde a la reparametrización de los vectores periódicos que definen el dos-toro, algo que está permitido a nivel de la geometría (de 12 dimensiones) pero que uno podría olvidar si sólo considerara un campo $\tau$ en la teoría de cuerdas de tipo IIB de 10 dimensiones.

La derivación del grupo de dualidad S de la teoría de 12 dimensiones es entonces totalmente análoga a la derivación de la teoría (2,0). Sólo hay una diferencia: la teoría de 12 dimensiones aparentemente no nos permite descompactar las dos dimensiones toroidales: son dimensiones intrínsecamente diferentes, infinitesimales. Sin embargo, en lo que se refiere a la estructura compleja en los colectores, pueden tratarse junto con las 10 dimensiones espaciales restantes.

Los dos toros de las dos construcciones anteriores no son del todo independientes entre sí. Al fin y al cabo, una M5-brana envuelta en un 2-toro en un espacio-tiempo de teoría M puede interpretarse como una D4-brana en una teoría de tipo IIA (obtenida mediante la reinterpretación de una de las dimensiones envueltas como la 11ª dimensión circular de teoría M) y luego T-dualizada a una D3-brana en la teoría de cuerdas de tipo IIB. La SCFT de (2,0) también puede obtenerse compactando el tipo IIB en singularidades ALE, lo cual es más difícil de relacionar mediante dualidades, pero no quiero decir todo sobre la teoría de (2,0) aquí.

La teoría M (nombre vinculado a la madre) tiene 11 dimensiones y todas ellas pueden descompactarse; la teoría F (nombre vinculado al padre) tiene 12 dimensiones pero dos de ellas no pueden descompactarse del todo. Cuál de ellas tiene un mayor número de dimensiones del espaciotiempo (y, por tanto, es una "descripción más geométrica" de la vacua de la teoría de cuerdas/M) es, por tanto, una cuestión un poco subjetiva; es similar a la pregunta de si son más importantes las madres o los padres. Desempeñan papeles suficientemente diferentes en la estructura de la teoría de cuerdas/M, pero ambos son comparativamente importantes.

Answer 2

Siempre hay un toro en la teoría de tipo IIB, está oculto en la reducción desde la teoría M. La teoría F hace de este toro una entidad geométrica dinámica, pero no es como la teoría M, no es una teoría física de 12 dimensiones.

Para obtener la teoría IIA, pones la teoría M compactada en un círculo muy pequeño, donde el acoplamiento débil es un círculo pequeño (las branas pesadas D0, que son agujeros negros cargados KK--- tienen momento en la dirección 11). La teoría IIB se encuentra mediante la dualización T de la IIA, por lo que se pone la IIA en un círculo pequeño. Esto significa que la teoría IIB es teoría M en un toro infinitesimal, y los grandes difeomorfismos de este toro son el acoplamiento SL(2,Z).

La teoría F se invierte a partir de esto, considerando el toro como el círculo en IIA. El resultado es una teoría no particularmente física de 12 dimensiones, a diferencia de la teoría M que es una teoría espacio-temporal completamente física de 11 dimensiones.