¿Cómo se puede llegar a la verdad de una declaración sin probarlo?

Question

Estuve leyendo un poco acerca de Gödel de los teoremas de incompletitud. No he tomado el tiempo para el estudio, pero estoy muy curioso acerca de las declaraciones como estas:

En otras palabras, si nuestros axiomas son consistentes, a continuación, en cada modelo de los axiomas no es una afirmación que es verdadera, pero no es demostrable. fuente

Y

Dado que cualquier sistema de axiomas que no produce paradojas, existen declaraciones acerca de los números que son verdaderos, pero que no se puede probar usando el dado de axiomas.

Lo que no entiendo es esto. ¿Cómo se puede demostrar que un enunciado es verdadero, sin probarlo ? Esto parece una contradicción en sí misma para mí.

Alguien puede darme un ejemplo de este tipo de declaración (sobre los números) que, como sabemos, es cierto, pero que no puede ser probado para ser verdad ? Y entonces, ¿cómo llegar a la conclusión de que tal afirmación es verdadera ? Debido a las relaciones que los números tienen con el mundo real ?

Answer 1

Verdadero y falso son relativos a una estructura, estos son la semántica de las propiedades de una frase en una determinada interpretación de la lengua.

En algunos casos, como en el caso de la aritmética, cuando decimos que un enunciado es verdadero, nos referimos a que es cierto en una parte muy específica del modelo. En el caso de la aritmética teorías (como $\sf PA$ por ejemplo) tomamos el modelo a $\Bbb N$.

Así que para determinar si una declaración acerca de los números naturales es "verdadera" tenemos que ver si es cierto en $\Bbb N$.

Comprobable, de nuevo, depende de la teoría. El axioma de elección no es demostrable a partir de $\sf ZF$, pero es ciertamente comprobable de $\sf ZFC$. Así que cuando acabamos de decir que algo es comprobable o no demostrable necesitamos tener un contexto adecuado para dar una interpretación correcta de la afirmación.

En el caso de $\Bbb N$ y los números naturales, esto es comúnmente axiomas de Peano, $\sf PA$.

Así que cuando decimos que el enunciado "Todos los Goodstein secuencia termina" es cierto, pero no demostrable, realmente podemos decir que es cierto que en $\Bbb N$ cada Goodstein secuencia termina, pero no es cierto en todos los modelos de $\sf PA$.

Otras verdaderas, pero no demostrable declaraciones pueden incluir varios consistencia demandas (por ejemplo, $\operatorname{Con}\sf (PA)$ es cierto, pero no demostrable) y otros resultados similares con la incompletitud de las pruebas. Y podemos codificar muchos de ellos en la forma de Diophantine ecuaciones o polinomios (véase este ejemplo en particular).

(Todo esto, por supuesto, no tiene nada que ver con el mundo real.)