Resolución de la ecuación funcional $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)\cos y$ ?

Question

¿Cómo puedo resolver esta ecuación funcional, donde $x,y$ son números reales cualesquiera y $f:\mathbb{R}\to \mathbb R$ es una función tal que : $$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)\cos y$$

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Intenté sustituirlo por $x=0$ para conseguir $f(y)+f(-y)=2f(0)\cos y$ . Tomando $x=y$ da $f(2x)+f(0)=2f(x)\cos x$ . Me parece que hay más relaciones de este tipo, pero no me ayuda a encontrar nada útil. También creo que la función debe ser $\sin$ o $\cos$ mirando las fórmulas del producto a la suma. ¿Alguien puede decirme cómo debo resolver esto?

Answer 1

Dejemos que $P(x,y)$ sea la FE.

$$P(0,x)\Rightarrow f(x)+f(-x)=2f(0)\cos x=2A\cos x$$ $$P\left (x+\dfrac{\pi}{2}\right )\Rightarrow f(x)+f(x+\pi)=0$$ $$P\left (\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}+x\right )\Rightarrow f(-x)+f(x+\pi)=-2f\left (\dfrac{\pi}{2}\right )\sin x=-2B\sin x$$

Así que, $f(x)=A\cos x+B\sin x$ .

Sustituyendo, la FE funciona. Así que hemos encontrado la solución.

Answer 2

Si pudieras asumir (o demostrar) que $f$ pertenece a $\mathcal{C}^2(\mathbb{R})$ Entonces podrías hacer algo como esto:

Fijar un $x$ y aplicar $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}$ a ambos lados

\begin{align} f(x+y) + f(x-y) &= 2f(x)\cos(y)\\ f'(x+y) - f'(x-y) &= -2f(x)\sin(y)\\ f''(x+y) + f''(x-y) &= -2f(x)\cos(y) \end{align}

sumando la primera y la última igualdad se obtiene

$$f''(x+y) + f''(x-y) + f(x+y) + f(x-y) = 0$$

para cualquier $x \in \mathbb{R}$ . Ahora sustituye $y = 0$ para conseguir $f''(x) + f(x) = 0$ con solución general $$f(x) = c_1 \sin(x) + c_2 \cos(x).$$

Espero que esto ayude $\ddot\smile$

Answer 3

La solución debe ser $f(x) = \cos(x) $ . Deberías echar un vistazo a d'Alembert. Ecuación funcional donde se ha encontrado la solución. Deberías hacer alguna búsqueda.