La matriz es conjugado a su propia transposición

Question

Mariano mencionado en alguna parte que todo el mundo debería probar una vez en su vida que toda matriz conjugada a su transpuesta.

Me pasé un poco de tiempo ahora, y todavía no pude probarlo. A riesgo de desvalorización de mí mismo, puedo pedirle a alguien que me muestre una prueba?

Answer 1

Esta pregunta tiene una buena respuesta con la teoría de los módulos a través de un PID. Claramente el Smith formas normales ( $K[X]$ ) $XI_n-A$ e de $XI_n-A^T$ son los mismos (por simetría). Por lo tanto, $A$ $A^T$ tienen los mismos factores invariantes de la misma forma canónica racional*, y por lo tanto son similares sobre$~K$.

*El artículo de la Wikipedia en el enlace mal necesidades de reescritura.

Answer 2

Yo tenía en mente un argumento mediante el Jordan en la forma, lo que reduce la cuestión a una sola Jordania bloques, que luego pueden ser manejadas con Ted método ---en los comentarios.

Hay un punto sutil: la matriz en la cual se conjuga una matriz de $A\in M_n(k)$ a su transpuesta puede ser tomado con coeficientes en $k$, no importa lo que el campo es. Por otro lado, la forma canónica de Jordan existe sólo para algebraicamente cerrado campos (o, más bien, los campos que dividir el polinomio característico)

Si $K$ algebraica de cierre de $k$, entonces podemos usar el argumento de arriba para encontrar una matriz invertible $C\in M_n(K)$ tal que $CA=A^tC$. Ahora, considere la ecuación $$XA=A^tX$$ in a matrix $X=(x_{ij})$ of unknowns; this is a linear equation, and over $K$ it has non-zero solutions. Since the equation has coefficients in $k$, it follows that there are also non-zero solutions with coefficients in $k$. This solutions show $$ and $^t$ se conjugan, excepto por un detalle: se puede ver cómo asegurarse de que un no-cero soluciones no tiene determinante cero?