La expresión algebraica en su forma más simplificada

Question

Estoy tratando de simplificar la expresión algebraica:

$$ \bigg (x- \dfrac {4}{(x-3)} \bigg ) \div \bigg (x+ \dfrac {2+6x}{(x-3)} \bigg )$$

Sin embargo, estoy teniendo problemas. Mis pensamientos actuales son:

$$= \bigg ( \dfrac {x}{1}- \dfrac {4}{(x-3)} \bigg ) \div \bigg ( \dfrac {x}{1}+ \dfrac {2+6x}{(x-3)} \bigg )$$

$$= \bigg ( \dfrac {x(x-3)}{1(x-3)}- \dfrac {4}{(x-3)} \bigg ) \div \bigg ( \dfrac {x(x-3)}{1(x-3)}+ \dfrac {2+6x}{(x-3)} \bigg )$$

$$= \bigg ( \dfrac {x(x-3)+(-4)}{(x-3)} \bigg ) \div \bigg ( \dfrac {x(x-3)+2+6x}{(x-3)} \bigg )$$

$$= \dfrac {x(x-3)+(-4)}{(x-3)} \times \dfrac {(x-3)}{x(x-3)+2+6x}$$

$$= \dfrac {x(x-3)+(-4)(x-3)}{(x-3)x(x-3)+2+6x} $$

$$ \boxed {= \dfrac {-4(x-3)}{2(1+3x)} }$$ Lo que no aparece no es la respuesta. ¿Estoy cerca? ¿Dónde me equivoqué exactamente? He intentado esta pregunta varias veces.

Editar: ¡Descubrirlo!

$ \dfrac {x(x-3) - 4}{x(x - 3) + 2(1 + 3x)} \implies\dfrac {x^2-3x-4}{x^2+3x+2} \implies \dfrac {(x-4)(x+1)}{(x+2)(x+1)}$

$(x+1)$ es cancelar lo que nos deja: $ \boxed { \dfrac {x-4}{x+2}}$

Answer 1

No ha distribuido el término $(x - 3)$ en el denominador cuando escribiste:

$$\begin{align} & =\dfrac{x(x-3)+(-4)}{(x-3)}\times \dfrac{(x-3)}{x(x-3)+2+6x} \\ \\ & =\dfrac{x(x-3)+(-4)(x-3)}{(x-3)x(x-3)+2+6x} \end{align}$$

Lo correcto sería el siguiente denominador: $$\begin{align} & \quad\color{blue}{(x-3)}[x(x-3)+2+6x] \\ \\ & = \color{blue}{(x-3)}x(x-3)+\color{blue}{(x-3)}(2+6x)\end{align} $$

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Pero tenga en cuenta

$$\dfrac{x(x-3)+(-4)}{\color{blue}{\bf (x-3)}}\times \dfrac{\color{blue}{\bf(x-3)}}{x(x-3)+2+6x}$$

Los términos resaltados se cancelan, dejándote:

$$\begin{align} & =\dfrac{x(x-3)+(-4)}{1}\times \dfrac{1}{x(x-3)+2+6x} \\ \\ & = \frac{x(x-3) - 4}{x(x - 3) + 2 + 6x} \\ \\ & = \dfrac{x^2-3x-4}{x^2+3x+2} \tag{$\diamondsuit$} \end{align} $$

Ahora, todos los numeradores y denominadores de $\diamondsuit$ y, de hecho, comparten un factor común, por lo que pueden simplificarse aún más.

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Recuerdo: $$\frac{[b + c]a}{a[d+e]} = \frac{a[b+c]}{a[d+e]} = \frac{b+c}{d+e}$$

O: $$\frac{a[b+c]}{a[d+e]} = \frac{ab+ac}{ad+ae}= \frac{b+c}{d+e}$$

Answer 2

Estás muy cerca. Sin embargo, este paso:

$$\dfrac{x(x-3)+(-4)}{(x-3)}\times \dfrac{(x-3)}{x(x-3)+2+6x}$$

$$=\dfrac{x(x-3)+(-4)(x-3)}{(x-3)x(x-3)+2+6x} $$

no es correcto, ya que no se ha distribuido correctamente. ¿Por qué no cancelar el factor de $(x-3)$ en el denominador de la expresión de la izquierda con el factor de $(x-3)$ en el numerador de la expresión correcta para obtener

$$=\dfrac{x(x-3)+(-4)}{x(x-3)+2+6x} $$

¿Puedes seguir a partir de ahí?

Answer 3

Comentario: Después del cálculo muy bien descrito por AWertheim y amWhy, terminamos con $\dfrac{x^2-3x-4}{x^2+3x+2}$ .

Tenga en cuenta que el cálculo es no más. La parte superior y la parte inferior cada factor muy bien, y habrá alguna cancelación.