¿Por qué los errores en una fórmula dependen de cómo se ' s escrito?

Question

Que haya una ecuación, vamos a decir $V=IR$. Ahora, cuando escribimos su error de la fórmula que se escribe como $$\frac{\Delta V}{V} = \frac{\Delta I}{I} + \frac{\Delta R}{R}.$$ Ahora vamos a tomar los valores de ejemplo. Por ejemplo, vamos a $V=12$, $I=3$, $R=4$, y $\Delta I=3\%$$\Delta R=2\%$. De ahí el error en $V$$\Delta V=18\%$.

Ahora podemos escribir la ley de Ohm como $I=\frac{V}{R}$. Ahora nos sale el error en $I$ $$\frac{\Delta I}{I} = \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta R}{R}.$$ Manteniendo los mismos valores de $\Delta V=18\%$$\Delta R=2\%$, obtenemos $\Delta I=6\%$. ¿Por qué es esto diferente? De acuerdo a las fórmulas para$\Delta V$$\Delta I$, en ambos casos seguramente vamos a llegar a los diferentes valores, pero ¿por qué es que obtenemos diferentes valores de error para el mismo par de valores de R,V y yo?

Answer 1

Esta aparente incongruencia se debe a que la regla que añadir los errores relativos al multiplicar o dividir las cantidades sólo se aplica cuando los errores relativos son no correlacionados. Pero los errores relativos en $V$, $I$, y $R$ están correlacionadas entre sí. Correlación significa, en este caso, que si se calculan $V$ (con su incertidumbre) de$I$$R$, a continuación, utilice $V$ $R$ para calcular el $I$, los errores en $R$ parcialmente "cancelar" los errores en $V$, dando un pequeño error en $I$ de la fórmula indica - de hecho, sólo lo suficiente tamaño para que se ajuste exactamente a la original de incertidumbre con el que comenzó.

He aquí un ejemplo simple que debe dejar esto en claro. En este ejemplo, estoy usando la fórmula $A = B + C$ (en lugar de $V = IR$), y estoy pretendiendo que todos los tres cantidades sólo puede tener valores enteros.

Supongamos que la medida que $B$ $-1$, $0$, o $1$, pero su dispositivo de medición no es lo suficientemente precisa para distinguir entre los tres valores. Se podría escribir esto como $B = 0\pm 1$. De igual manera, supongamos que miden el mismo tres posibles valores para $C$: $-1$, $0$, o $1$, que se puede escribir como $C = 0\pm 1$. (Sí, este es un raro ejemplo, pero hay una razón por la que estoy eligiendo para hacer que el valor promedio de las dos mediciones cero.)

La verdadera manera de calcular la incertidumbre de $A$ es de considerar todos los posibles valores de $B$ $C$ podría tomar. Hay nueve posibilidades:

$$\begin{align} B &= -1 & C &= -1 & A &= -2 \\ B &= -1 & C &= 0 & A &= -1 \\ B &= -1 & C &= 1 & A &= 0 \\ B &= 0 & C &= -1 & A &= -1 \\ B &= 0 & C &= 0 & A &= 0 \\ B &= 0 & C &= 1 & A &= 1 \\ B &= 1 & C &= -1 & A &= 0 \\ B &= 1 & C &= 0 & A &= 1 \\ B &= 1 & C &= 1 & A &= 2 \end{align}$$

Por lo que el rango de posibles valores para $A$$-2$$2$, la cual se puede escribir como $0\pm 2$. Que da una incertidumbre de $\delta A = 2$.

Si utiliza la regla que hemos aprendido para la adición de incertidumbres, en el que encontraría

$$\delta A = \delta B + \delta C = 1 + 1 = 2$$

Tan lejos y tan bien; en este caso, la regla que hemos aprendido nos da exactamente el derecho a la incertidumbre. Que tiene sentido porque funciona la regla de la no correlación de los errores y las incertidumbres en $B$ $C$ son, de hecho, no correlacionados. No importa lo que el valor de $B$, la distribución de los valores que $C$ puede tener es la misma, y viceversa ($B$ tiene la misma probabilidad de ser $-1$ para cualquier valor de $C$, y del mismo modo para $B = 0$$B = 1$).

Ahora, ¿qué pasa si reescribir la fórmula como $C = A - B$? Bien, ahora la fórmula de la correlación de los errores le dice que

$$\delta C = \delta A + \delta B = 2 + 1 = 3$$

lo cual implicaría que el $C$ abarca un rango de $\pm 3$ a cada lado de la media de su valor de $0$. Que no tiene sentido! Los valores permitidos de $C$ sólo $-1$, $0$, y $1$; $\delta C$ se supone que ser $1$.

La razón de que la fórmula no funciona es debido a que los errores están correlacionados: el conjunto de posibles valores de $B$ ahora depende de el valor de $A$, y vice-versa. Para un valor dado de a $A$, los valores permitidos de $B$ dar $C$ en el rango $-1$$1$. Específicamente:

$$\begin{align} A &= -2 & B &= -1 & C &= -1 \\ A &= -1 & B &= -1 & C &= 0 \\ A &= -1 & B &= 0 & C &= -1 \\ A &= 0 & B &= -1 & C &= 1 \\ A &= 0 & B &= 0 & C &= 0 \\ A &= 0 & B &= 1 & C &= -1 \\ A &= 1 & B &= 0 & C &= 1 \\ A &= 1 & B &= 1 & C &= 0\\ A &= 2 & B &= 1 & C &= 1 \end{align}$$

Por ejemplo, si $A = -2$, que está por debajo de la media, la única opción para$B$$-1$, también por debajo de la media. Cuando usted toma la diferencia de $A - B$, algunos de los de abajo-averageness cancela, y te dejan con la $C = -1$, que es un poco por debajo de la media, pero aún dentro de la $\pm 1$ incertidumbre comenzó con. Del mismo modo, si $A = 1$, que está por encima de la media, $B$ también tiene que estar en o por encima de la media ($0$ o $1$), lo suficientemente grande que cuando se toma la diferencia de $A - B$ te deja con un valor de $C$ dentro de la original con un margen de incertidumbre.

Si se utiliza la fórmula de correlación de los errores, es de suponer que, independientemente de que el valor de $A$, el valor de $B$ podría ser cualquier cosa en el rango de $-1$$1$. Si ese fuera el caso, se llega a casos como el de $A = -2$$B = 1$, lo que podría dar $C = -3$ - que es donde el intervalo de incertidumbre de $3$ proviene. Pero en realidad, no hay ningún caso en el que $A = -2$$B = 1$. Es por eso que la correlación de error de la fórmula no funciona. En la siguiente lista, todos los de la rosa filas son los casos en que la correlación de error de la fórmula es de tomar en consideración, pero que realmente no puede suceder:

$$\requieren{color} \begin{align} A &= -2 & B &= -1 & C &= -1 \\ \color{pink}A &\color{pink}= -2 & \color{pink}B &\color{pink}= 0 & \color{pink}C &\color{pink}= -2 \\ \color{pink}A &\color{pink}= -2 & \color{pink}B &\color{pink}= 1 & \color{pink}C &\color{pink}= -3 \\ A &= -1 & B &= -1 & C &= 0 \\ A &= -1 & B &= 0 & C &= -1 \\ \color{pink}A &\color{pink}= -1 & \color{pink}B &\color{pink}= 1 & \color{pink}C &\color{pink}= -2 \\ A &= 0 & B &= -1 & C &= 1 \\ A &= 0 & B &= 0 & C &= 0 \\ A &= 0 & B &= 1 & C &= -1 \\ \color{pink}A &\color{pink}= 1 & \color{pink}B &\color{pink}= -1 & \color{pink}C &\color{pink}= 2 \\ A &= 1 & B &= 0 & C &= 1 \\ A &= 1 & B &= 1 & C &= 0\\ \color{pink}A &\color{pink}= 2 & \color{pink}B &\color{pink}= -1 & \color{pink}C &\color{pink}= 3 \\ \color{pink}A &\color{pink}= 2 & \color{pink}B &\color{pink}= 0 & \color{pink}C &\color{pink}= 2 \\ A &= 2 & B &= 1 & C &= 1 \end{align}$$

También se puede imaginar esto de forma gráfica, mediante el trazado de $A$ contra $B$. Los colores de los puntos corresponden a los colores en la tabla de arriba: puntos negros, que son los puntos que realmente puede suceder, mientras que los puntos de color rosa son los puntos a los que realmente no pueden pasar, pero que son (erróneamente) incorporados en la correlación de error de la fórmula.

Esta parcela es un discreto versión de algo que te veo en un montón de artículos científicos. Cuando usted no tiene el requisito de que las variables sean números enteros, entonces, en lugar de puntos discretos, obtendrás una suave región, pero es básicamente la misma idea.

En esta parcela, el gris de la elipse demuestra que lo más probable es que los valores de $A$ $B$ a, en algunos experimento hipotético. El hecho de que es una elipse inclinada muestra que $A$ $B$ están correlacionados. Si ellos no estaban correlacionados, la forma sería un círculo, como el rosado, o tal vez una elipse donde el eje puntos de la recta vertical u horizontalmente. (La razón por la que iba a ser una elipse en lugar de un rectángulo que tiene que ver con las distribuciones de probabilidad; eso es más de lo que puedo llegar a entrar aquí.)

Para la diversión de ella, aquí es un ejemplo de la correlación de las incertidumbres de los Planck colaboración del papel de los parámetros cosmológicos:

Esta gráfica muestra la correlación entre los valores posibles de la energía oscura, la densidad y la densidad de la materia en el universo. Aunque la energía oscura densidad de $\Omega_\Lambda$ y la densidad de la materia $\Omega_m$ cada uno individualmente tomar un rango de valores diferentes, la suma de los dos, que representa la densidad de energía total, es conocido por ser muy cercano a $1$ (la línea diagonal), que sólo es posible gracias a que los científicos sabían que buscar este tipo de correlación en la incertidumbre.

Answer 2

Usted necesita para calcular la fórmula mediante la expansión de Taylor y norma Euclídea (suponiendo independiente de los errores), es decir,

$$\Delta f(x, y, ...) = \sqrt{|\Delta x \partial_x f(x, y, ...)|^2 + |\Delta y \partial_y f(x, y, ...)|^2 + ...}$$

Si los errores son dependientes el uno del otro, las cosas se ponen más complicadas. De todos modos, no esperes que los errores de salir de la misma, esto realmente depende de su valor de medición son y cuáles son calculados. Un viaje de ida y de propagación de errores, no se cancelarán sino aumentar el error aún más. Recuerda que esto es simplemente un error estimado que los mapas de un pequeño intervalo demasiado a una más grande.

Answer 3

El propósito de las expresiones textualmente, como $$\frac{\Delta V}{V} = \frac{\Delta I}{I} + \frac{\Delta R}{R}$$ is to asses the error when you compute $V $ from measurements of $ I, R $ The absolute value signs in the derivation mean that this is not a true equality it is a (rough) upper bound. As such, when we compute $V $ from $ I, R $, its fractional uncertainty has to be as large as either one. When you change the equation to $$\frac{\Delta I}{I} = \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta R}{R}$$ you are computing $ I $ from $V, R $ and again the fractional error is at least as large. Since your error in $V $ was larger than the others in the first case, the error in $I$ tiene que crecer en el segundo.

Answer 4

Hay varios problemas con su tratamiento.

En primer lugar, las incertidumbres no agregar linealmente, como se ha demostrado, pero en cuadratura. Por lo que su error de dos fórmulas debe leer \begin{align} V &= IR &\text{implies}&& \left(\frac{\Delta V}V \right)^2 &= \left(\frac{\Delta I}I \right)^2 + \left(\frac{\Delta R}R \right)^2 \\ I &= V/R &\text{implies}&& \left(\frac{\Delta I}I \right)^2 &= \left(\frac{\Delta V}V \right)^2 + \left(\frac{\Delta R}R \right)^2 \\ \end{align}

En segundo lugar, usted tiene que tener cuidado acerca de la consistencia dimensional. Si $V$, $I$, y $R$ son cantidades con unidades diferentes (generalmente de voltios, amperios y ohmios), a continuación, sus incertidumbres $\Delta V$, $\Delta I$, y $\Delta R$ también son cantidades con unidades. Escribir

Vamos a V=12, I=3, R=4, y ΔI=3% y ΔR=2%.

Este no es un lugar físicamente permitido declaración. Podemos, sin embargo, vamos \begin{align} V &= 12\,\mathrm V \\ I &= 3\,\mathrm A & \frac{\Delta I}I &= 0.03 \\ R &= 4\,\Omega & \frac{\Delta R}R &= 0.02 \\ \end{align} Esto sugiere que la precisión de la medición de la corriente es $\Delta I=90\,\mathrm{mA}$ y en la resistencia a la es $\Delta R = 80\,\mathrm{m\Omega}$. Que la sensatez de precisión para la medición de corriente. Las mediciones de resistencia tienden a tener un poco peludo en el único ohmios nivel, a partir de unas resistencias de contacto líder en el medidor puede variar de forma impredecible por entre 100 y 500 mΩ, pero podemos tomar esos valores en serio sólo por el bien de este problema.

Dados estos valores de las fracciones de la incertidumbre en el voltaje de la $$ \frac{\Delta V}V = \sqrt{0.03^2 + 0.02^2} = 3.6\% $$ que es menor que su mal incertidumbre por un factor de cinco. La correspondiente dimensionful valor de $\Delta V$ es de 0,43 V.

Si volvemos a la ecuación alrededor, como sugieren nos íbamos a encontrar $$ \frac{\Delta I}I = \sqrt{0.036^2 +0.02^2} = 4.1\% $$ que es mayor que el $\Delta I$ con que empezamos, pero no tan grande. Lo que ha ocurrido aquí es que tenemos erróneamente contado la incertidumbre en $R$ dos veces, una vez para encontrar el voltaje, y una segunda vez para encontrar la corriente. Esto sólo sería un enfoque correcto si hay dos físicamente diferentes resistencias $R$ para el voltaje de encontrar y la corriente de búsqueda de las etapas del experimento, cada uno con el mismo valor nominal 4 ohmios, sino por su propio 2% de tolerancia.

Answer 5

Creo que hay un poco de sobre-pensar pasando aquí. Si tengo dos cantidades a y B, y yo soy el cálculo de un tercio de la cantidad C=AB, entonces el error de propagación puede ser hecho a mano de forma explícita, sin ninguna expansión de Taylor o de lujo diagramas. Si Una puede tener un máximo. el error relativo de a, B, y puede tener un máximo. el error relativo de b, entonces el valor más grande posible que C puede alcanzar es la Cmax=AmaxBmax=A(1+a)B(1+b)=AB(1+a+b+ab). El max. el error relativo en C, es por ello que a+b+ab. Uno puede refinar este valor si se sabe más acerca de la forma de las distribuciones de error, pero en ausencia de cualquier otra información que el máximo. el error relativo es la mejor estimación posible. Uno puede hacer la misma cosa para el menor valor posible y soporte del resultado en un intervalo. Intervalo de aritmética como estas, generalmente sobreestima considerablemente los errores, especialmente cuando muchos de los puntos de datos se combinan, ya que es más que aditivo, mientras que en realidad la teoría de la probabilidad predice que casi todas las distribuciones convergerá hacia una Gaussiana, la anchura de los cuales crece con $(\sqrt{n})$ $n$ independiente de las fuentes de error. Para dos variables, sin embargo, no es una tumba de sobreestimar.