Las matemáticas detrás de una calculadora

Question

Las matemáticas detrás de una calculadora

He intentado googlear un poco, pero me faltan términos técnicos y conocimientos matemáticos para encontrar resultados que me den intuición matemática sobre cómo funciona matemáticamente una calculadora .

Si tienes tiempo, por favor, dame una descripción corta o larga de cómo funciona una calculadora. Si es una respuesta larga y completa, iniciaré una recompensa de 50 rep para premiar esta respuesta.

Si no, bastará con los términos para que pueda investigar más sobre lo que hay "en" una calculadora.

Espero sinceramente no haber malinterpretado el concepto de calculadora, por favor, déjame un comentario si es así.

PS Quiero saber cómo una calculadora calcula expresiones más avanzadas, no sólo la división sino, por ejemplo, $e$ , $\sum$ , $\int$ , funciones trigonométricas y etcétera.

Answer 1

• Muchos de estos cálculos se realizan mediante series. Por ejemplo, el valor de $e$ (si no se guarda en un disco duro) puede calcularse como: $$ e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} $$ Aunque hay muchos otros ejemplos, para el seno, el coseno, etc., que se calculan utilizando series. Ten en cuenta que una calculadora no puede sumar infinitos términos, por lo que sumarán un número finito (por grande que sea) de paquetes para darte una aproximación del valor real.

• Para las integrales y derivadas, hay muchos algoritmos que pueden hacerlo, y para entenderlos mejor puedes empezar a estudiar un tema llamado análisis numérico que es una "forma" de evaluar integrales, derivadas y otros operadores, mediante algoritmos informáticos. A fin de cuentas, todos ellos se reducen a las operaciones más sencillas, como la suma o la multiplicación. Pensemos, por ejemplo, en un algoritmo sencillo e intuitivo para evaluar la derivada de $f(x) = x^2$ en $x=2$ :

  1. Definir un pequeño $h$ como por ejemplo $h = 0.000001$ .
  2. Uso de la fórmula de la derivada. Calcular $(2+0.000001)^2 - 2^2$
  3. Dividir el resultado por $0.000001$ .
  4. Devuelve el valor de la fracción.

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Puedes hacer este cálculo y comprobarás que se aproxima al valor de la derivada. Sin embargo, existen algoritmos mucho más complejos, eficientes y exactos para evaluar estos cálculos. El análisis numérico es un tema muy interesante.

Answer 2

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[8px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ $\ds{\large\bullet}$ Constantes como $\ds{\expo{}}$ , $\ds{\ln\pars{2}}$ , $\ds{\pi}$ etc. $\ldots$ puede guardarse, con un número finito de decimales, en un "disco duro".

$\ds{\large\bullet}$ Muchas funciones se evalúan en "intervalos pequeños". Por ejemplo, $\ds{\root{x}}$ sólo tienen que ser evaluados en $\ds{\pars{0,1}}$ porque $\ds{\root{x} = 1/\root{1/x}}$ . De la misma manera, $\ds{\ln\pars{x} = -\ln\pars{1/x}}$ . Método Newton-Rapson es útil para las evaluaciones en $\ds{\pars{0,1}}$ .

Answer 3

La unidad de cálculo subyacente a las matemáticas de los ordenadores es la Unidad Lógica Aritmética (ALU), que es un circuito combinatorio que realiza las funciones básicas de suma, resta, multiplicación, división, negación (inversión), valor absoluto y algunas otras funciones sobre números binarios. Se han dedicado siglos a optimizar estos circuitos para que sean más rápidos, precisos y funcionales.

Como señala @FelixMartin, es muy sencillo almacenar constantes como $e$ , $\pi$ etc.

Más allá de una "explicación" de alto nivel, habría que saber con precisión lo que se busca.