Pregunta de Cox tiempo discreto regresión modelo

Question

Cox 1972 publicación de los Modelos de Regresión y de las Tablas de enlaces de regresión logística para una extensión de tiempo discreto modelo de riesgos proporcionales. No entiendo cómo la Ecuación (21) en la publicación se deriva.

Deje $T$ ser una variable aleatoria discreta que toma los valores de $t_1 < t_2 < ... $ con probabilidades

$$f(t_j) = Pr\{T = t_j\}$$

En el discretos caso de que el riesgo es una probabilidad y no una tasa,

$$\lambda(t_j) = Pr\{T = t_j | T \geq t_j \} = \frac{Pr\{T = t_j , T \geq t_j \}}{Pr\{T \geq t_j \}} = \frac{f(t_j)}{S(t_j)}$$

I. e., en tiempo discreto, el peligro es simplemente la probabilidad de que el evento ocurra en el momento $t_j$ dado que el evento no ha ocurrido hasta, pero no incluyendo, $t_j$.

Según el modelo de riesgos proporcionales de modelo de los peligros para un determinado vector de covariables/funciones $\mathbf{x}$ tiempo $t_j$ con

$$\lambda(t_j, \mathbf{x}) = \lambda_0(t_j)exp\{\sum_{i=1}^n\beta_ix_i\}$$

Ya en tiempo discreto el riesgo es una probabilidad de que pueden estar interesados en el estudio de las probabilidades:

$$\frac{\lambda(t_j, \mathbf{x})}{1 - \lambda(t_j, \mathbf{x})} = \frac{\lambda_0(t_j)}{1 - \lambda_0(t_j)}exp\{\sum_{i=1}^n\beta_ix_i\} $$

No entiendo cómo el lado derecho de la ecuación anterior se deriva.

Muchas gracias por la ayuda!

Answer 1

La respuesta se encuentra en la $dt$ términos en Cox de la ecuación 21, que su pregunta se omite.

Cox dice que en el caso continuo ecuación 21, $$\frac{\lambda(t; z)\,dt}{1 - \lambda(t; z)\,dt} = e^{-z\beta} \frac{\lambda_0(t)\,dt}{1 - \lambda_0(t)\,dt},$$ reduces to equation 9, $$\lambda(t; z) = e^{z\beta} \lambda_0(t).$$

Cox señala que "en tiempo discreto $\lambda_0(t; z) dt$ es una probabilidad distinta de cero"--en particular, es la probabilidad de que ocurra un evento entre el$t$$t + dt$, dada la supervivencia hasta el momento de $t$. El tiempo continuo de caso, se corresponde con el límite en el que usted considere extremadamente discretos pequeños intervalos de tiempo, es decir, $dt \to 0$. En ese caso, el $\lambda(t; z)\,dt$ $\lambda_0(t)\,dt$ en los denominadores ir a cero, por lo que el denominador se convierte en 1 y, a continuación, la cancelación de la $dt$ en el numerador los rendimientos de la ecuación 9.