El espacio de Riemann métricas en un colector.

Question

Para un finito-dimensional suave (Hausdorff, segundo-contable) colector $M$, considerar el conjunto $$\mathcal{Met}(M) = \{ g : g \text{ is a Riemannian metric on }M \}.$$ Me gustaría saber acerca de las típicas estructuras diferenciables uno puede colocar en $\mathcal{Met}(M)$, y la forma en que son construidos. Más específicamente, este es en general un infinito-dimensional de Banach o colector de Hilbert? O tal vez un Fréchet colector? Lo que si $M$ es compacto?

También, las referencias que contiene una buena cantidad de detalles, pruebas, etc. sería muy apreciada. Gracias!

Answer 1

Hasta donde yo entiendo la situación, el $C^\infty$-topología hace que el espacio de las métricas de un espacio de Fréchet, pero si $M$ no es compacto el conjunto $\mathcal{Met}(M)$ no está abierto en ella, y un problema de encontrar un conveniente topología surge.

He encontrado que una muy buena encuesta de la pregunta es dada en la primera parte de la D. E. Blair "Espacios de Métricas y la Curvatura Funcionales" (Capítulo 2 del "Manual de la Geometría Diferencial", Vol.1, Ed. por F. J. E. Dillen y L. C. A. Verstraelen, Elsevier, 2000).

Como para el documento citado por @AlexE sería conveniente disponer de P. W. Michor "Colectores de diferenciables asignaciones" en la mano al leer sobre este tema. Está disponible en el sitio del autor. Uno puede encontrar allí todos los fundamentos necesarios, incluyendo la construcción de topologías.

Me encantaría saber más sobre este tema también.

Answer 2

Puede que desee tener una mirada en el papel

Gil-Medrano, Michor: La de Riemann Colector de todas las Métricas de Riemann, Revista Trimestral de Matemáticas (Oxford) 42 (1991), 183-202

y las referencias allí contenidas.

También disponible en línea en http://www.mat.univie.ac.at/~michor/rie-met.pdf.

Answer 3

Hamilton 1982 papel El teorema de la función inversa de Nash y Moser disponibles aquí y aquí también es una muy buena referencia.

El espacio de Riemann métricas en un compacto manifold es un colector de Frechet.