Encontrar todas las funciones: $\left ( \int \frac{dx}{f(x)} \right )\left ( \int f(x)dx \right )=c$

Question

Encontrar todas las funciones $f(x)$ para que: $$ \left (\int \frac{dx}{f(x)} \right) \left (\int f (x)dx \right) = $ c donde c es una constante.

Mi intento fue diferenciar ambos lados, pero que parece que me llevan a ninguna parte. Supongo que la solución implica a algún tipo de ecuaciones diferenciales pero soy muy probable que sea incorrecto.

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Si usted distingue ambos lados se obtiene

\begin{equation*} \frac{1}{f(x)} \Big( \int f(x) dx \Big) + \Big( \int \frac{dx}{f(x)} \Big) f(x) = 0 \end{ecuación *} o \begin{equation*} \Big( \int f(x) dx \Big) =- \Big( \int \frac{dx}{f(x)} \Big) ( f(x) )^2 \end{ecuación *} distinguen otra vez:\begin{equation*} f(x) =- \frac{1}{f(x)} (f(x))^2 - \Big( \int \frac{dx}{f(x)} \Big)2 f'(x) f(x) \end{ecuación *} o \begin{equation*} f(x) =- \Big( \int \frac{dx}{f(x)} \Big) f'(x) f(x) \end{ecuación *}

Desde $f(x) \neq 0$, esto conduce a

\begin{equation*} 1 =- \Big( \int \frac{dx}{f(x)} \Big) f'(x) \end{ecuación *} o \begin{equation*} \frac{-1}{f'(x)} = \Big( \int \frac{dx}{f(x)} \Big) \end{ecuación *} diferenciando una vez más,\begin{equation*} \frac{f''(x)}{(f'(x))^2} = \frac{1}{f(x)} \end{ecuación *}

Por reorganizar las cosas,

\begin{equation*} \frac{f''(x)}{f'(x)} = \frac{f'(x)}{f(x)} \end{ecuación *}

De ahora en adelante usted puede continuar, sólo integrar dos veces y llevar algunas constantes para obtener la solución completa.

Answer 2

Las expresiones $\int f(x)\>dx$ $\int{1\over f(x)}\>dx$ no denotan funciones, pero los conjuntos de funciones. Por lo tanto yo estoy interpretar el problema como sigue: Para los que recibieron $c\in{\mathbb R}$ funciones $F$ $G$ definido en un intervalo de $I\subset{\mathbb R}$, de tal manera que $$F(x)\>G(x)= c,\qquad F'(x)\>G'(x)=1\qquad(x\in I)\ .\tag{1}$$ Es fácil ver que $c=0$ no permitir que ninguna de las soluciones. Por lo tanto, podemos asumir $c=\pm\omega^2$$\omega>0$.

Caso I: $\ c=\omega^2>0$: La primera ecuación de $(1)$ implica entonces que podemos escribir $$F(x)=\omega e^{p(x)}, \quad G(x)=\omega e^{-p(x)}$$ para una determinada función $x\mapsto p(x)$. A partir de la segunda ecuación de $(1)$ a continuación, se deduce que $$\omega^2 p'(x)^2=-1\ ,$$ o $p'(x)=\pm\, i/\omega$. Esto conduce a su vez a a $p(x)=\pm ix/\omega +C$, $\> F(x)=\omega e^{\pm ix/\omega+C}$, y, finalmente, $$f(x)=F'(x)=C'e^{\pm ix/\omega},\qquad C'\ne0\ .$$ Ahora uno tiene que verificar que tales $f$ satisfacer todas las condiciones dadas.

El Caso II: $\ c=-\omega^2<0$ es similar, pero permite que de soluciones reales. Se los dejo a ustedes.

Answer 3

Tratar de $$f(x) = \mathrm{e}^{i\sqrt{1/c}x}

Nos encontramos con $$\int f (x)dx = - i\sqrt {c} \mathrm {e} ^ {i\sqrt {1C} x} \\ \int\frac{1}{f(x)} dx = i\sqrt {c} \mathrm {e} ^ {-i\sqrt {1C} x}$$

Answer 4

Determinado $\displaystyle \int\frac{1}{f(x)}dx\cdot \int f(x)dx =c..............................................(1)$

Ahora distinguir ambos lados w. r $x$, obtenemos

$\displaystyle \int \frac{1}{f(x)}dx\cdot f(x)+\frac{1}{f(x)}\cdot \int f(x)dx = 0...................................................................(2)$

Ahora tenemos de ecuación $(1)$ $\displaystyle \int\frac{1}{f(x)}dx = \frac{c}{\int f(x)dx}$

y poner en ecuación $(2)$, $\displaystyle \frac{c\cdot f(x)}{\int f(x)dx}+\frac{\int f(x)dx}{f(x)} = 0$

Así $\displaystyle \left(\int f(x)dx\right)^2 = -c\cdot \left(f(x)\right)^2$

Ahora que $-c=k^2\;,$ % entonces $\displaystyle \left(\int f(x)dx\right)^2 = k^2\cdot \left(f(x)\right)^2$

Así $\displaystyle \int f(x)dx = \pm k\cdot f(x)\;,$ ahora Differentitae ambos lados r w $x\;,$ obtenemos

$\displaystyle \Rightarrow f(x) = \pm k\cdot f'(x)\Rightarrow \frac{f'(x)}{f(x)}=\pm q\;,$ donde $\displaystyle q = \pm \frac{1}{k}$

Ahora integrar ambos lados w. r $x\;,$ obtenemos

$\displaystyle \Rightarrow \int \frac{f'(x)}{f(x)} = \pm q\int dx\Rightarrow \ln\left|f(x)\right| = \pm q+\ln \left|c\right|\Rightarrow f(x)=c\cdot e^{\pm qx}$